Dubbio su derivate di funzioni in n variabili

[ZorroMorbido]

Vi porto questo esempio per cercare di capire il caso più generale

f(x,y) = (x^3 * y)/(x^2+y^2) se (x,y) /= (0,0)
0 se (x,y) = (0,0)

Si verifichi che fxy(0,0) /= fyx(0,0).


Quello che non mi è chiaro è: se io derivo la funzione non avrò sempre 0 se (x,y) = (0,0)? Come fanno dunque ad essere diverse le due derivate miste?
Quindi, problema più generale, quando mi ritrovo una f:R^n---->R definita in modo simile, devo derivare tutto? Oppure solo parte della funzione?



Dubbio su differenziale (stessa problematica di sopra!)
f(x,y) = x^2 * sen(1/x) + y^2 * sen(1/y) se x /= 0 e y /= 0
0 se x = 0 o y = 0

Ora basta controllare che le derivate parziali siano continue (e prima ancora che la funzione sia continua!). La funzione è continua, arrivato alle derivate parziali, quando derivo cosa avrò? Risolto il problema della derivata (che è come quello di sopra), come procedo?

[igorravasi]

Ti consiglio di scrivere con font matematici perchè molti utenti potrebbero decidere di non fare "fatica" a leggere scritto così che bisogna interpretare e non ti rispondono.

Comunque scrivi le derivate come limite del rapporto incrementale!
E dovresti trovare che sono diverse

[gygabyte017]

"ZorroMorbido":
Quello che non mi è chiaro è: se io derivo la funzione non avrò sempre 0 se (x,y) = (0,0)? Come fanno dunque ad essere diverse le due derivate miste?
Quindi, problema più generale, quando mi ritrovo una f:R^n---->R definita in modo simile, devo derivare tutto? Oppure solo parte della funzione?

Ciao, l'errore di fondo è questo: è vero che la funzione in $(0,0)$ vale $0$, ma la derivata in $(0,0)$ dipende non solo dal punto $(0,0)$ ma anche da quello che succede "intorno"! E quindi visto che "intorno" la funzione NON è $0$, la derivata dipende da come è definita la funzione "intorno" al punto di derivazione.

Un esempio immediato: pensa alla funzione a una variabile $y(x) = |x|$. Ovviamente $y(0) = 0$, ma la derivata in $0$, venendo da sinistra dello $0$ vale $-1$ e da destra vale $1$, proprio perché la derivata dipende da cosa succede "intorno" al punto di derivazione, e "intorno" tale funzione si comporta come una retta, a sinistra con coefficiente angolare $-1$ e a destra con coefficiente angolare $1$.

Quindi procedi con la definizione, ovvero calcola il limite del rapporto incrementale, e vedi che succede

[ZorroMorbido]

"gygabyte017":[quote="ZorroMorbido"]
Quello che non mi è chiaro è: se io derivo la funzione non avrò sempre 0 se (x,y) = (0,0)? Come fanno dunque ad essere diverse le due derivate miste?
Quindi, problema più generale, quando mi ritrovo una f:R^n---->R definita in modo simile, devo derivare tutto? Oppure solo parte della funzione?

Ciao, l'errore di fondo è questo: è vero che la funzione in $(0,0)$ vale $0$, ma la derivata in $(0,0)$ dipende non solo dal punto $(0,0)$ ma anche da quello che succede "intorno"! E quindi visto che "intorno" la funzione NON è $0$, la derivata dipende da come è definita la funzione "intorno" al punto di derivazione.

Un esempio immediato: pensa alla funzione a una variabile $y(x) = |x|$. Ovviamente $y(0) = 0$, ma la derivata in $0$, venendo da sinistra dello $0$ vale $-1$ e da destra vale $1$, proprio perché la derivata dipende da cosa succede "intorno" al punto di derivazione, e "intorno" tale funzione si comporta come una retta, a sinistra con coefficiente angolare $-1$ e a destra con coefficiente angolare $1$.

Quindi procedi con la definizione, ovvero calcola il limite del rapporto incrementale, e vedi che succede [/quote]
Siccome si tratta di derivate miste, come faccio? limite del rapporto incrementale e trovo la derivata parziale in (0,0)....e per la derivata mista? Qualcosa mi dice che la derivata parziale la devo calcolare con le regole di derivazione e poi passare al limite del rapporto incrementale per la derivata mista, è corretto?

In più, passando al secondo esercizio posso fare direttamente il limite del rapporto incrementale in (0,0)? Se il limite è finito, so per certo che la funzione derivata parziale è continua?

@underscore: hai pienamente ragione! ma andavo di fretta e ho scritto in quel modo, leggerò la guida

[gygabyte017]

Siccome si tratta di derivate miste, come faccio? limite del rapporto incrementale e trovo la derivata parziale in (0,0)....e per la derivata mista? Qualcosa mi dice che la derivata parziale la devo calcolare con le regole di derivazione e poi passare al limite del rapporto incrementale per la derivata mista, è corretto?

In realtà no, perché la derivata mista non è altro che fare due operazioni di derivazione di seguito, quindi il modo di procedere è lo stesso sia che calcoli $f_x$, $f_y$, $f_{xy]$ o $f_{yx}$.

Ad esempio, iniziando con la $f_x$, puoi fare: per $(x,y) != (0,0)$, la funzione è definita in quel modo esplicito quindi puoi derivarla tranquillamente con le regole classiche (e vedere se ci sono eventuali punti problematici); invece, per $(x,y) = (0,0)$, usa la definizione di derivata con il rapporto incrementale:
$lim_{h->0}\frac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} = lim_{h->0}1/h (((0+h)^3 * 0)/((0+h)^2+0^2))=lim_{h->0}1/h(h^3 / h^2 ) = 1$,

e quindi puoi scrivere [tex]f_x(x,y) = \begin{cases}\mbox{"qualcosa" ottenuto usando le regole di derivazione}&\mbox{ se }(x,y) \neq (0,0)\\1&\mbox{ se }(x,y) = (0,0)\end{cases}[/tex].

A partire da questa, ora la derivi in $y$ nello stesso identico modo per ottenere la $f_{xy]$.
Poi, ripartendo dalla $f$ originale calcoli invece la $f_y$ sempre nello stesso identico modo (cioè ove hai l'espressione usa le regole di derivazione, altrimenti usa il rapporto incrementale), e poi derivi la $f_y$ in $x$ sempre allo stesso modo per ottenere la $f_{yx}$. Infine confronti l'espressione della $f_{xy}$ con la $f_{yx}$ e vedi se sono uguali oppure no.

In più, passando al secondo esercizio posso fare direttamente il limite del rapporto incrementale in (0,0)? Se il limite è finito, so per certo che la funzione derivata parziale è continua?

Cosa ti chiede di fare il secondo esercizio? Se ti chiede di vedere se la funzione è differenziabile, attenzione!
1) Innanzitutto vedi che la $f$ sia continua
2) calcola la $f_x$ e la $f_y$, al solito per $(x,y) != 0$ usa la derivazione classica, e in $(x,y)=(0,0)$ usa il rapporto incrementale
3) verifica che la $f_x$ e la $f_y$ siano continue (non ho svolto i conti, ma a occhio per $(x,y) != 0$ ottieni una funzione continua, per $(x,y)=(0,0)$ otterrai un numero (il limite è finito), ma devi ancora verificare che la funzione è continua in quel punto non ti basta dire che il limite è finito)

Se verifichi 1) 2) e 3) ottieni che la funzione $f$ è continua, ed è derivabile nelle due direzioni degli assi cartesiani($x$ e $y$); ma questo non è assolutamente sufficiente per concludere che sia differenziabile. Ti torna?

Fammi sapere se mi sto spiegando
Ciao