Dubbio su derivata di funzione composta

[ciaomammalolmao]

Ciao a tutti, ho un dubbio sulla dimostrazione del seguente teorema: Siano $f:A->B$ e $g:B->C$ e sia $f$ derivabile in $x_0inA$, $g$ derivabile in $y_0=f(x_0)inB$, allora $g(f(x))$ è derivabile in $x_0$ e la sua derivata è $g’(f(x_0))f(x_0)$.
Per dimostrarlo consideriamo il rapporto incrementale $(g(f(x))-g(f(x_0)))/(x-x_0)$ e moltiplichiamo e dividiamo per $f(x)-f(x_0)$ supponendo che $f(x)-f(x_0)$ sia diverso da zero in un intorno di $x_0$. Poi portando la dimostrazione avanti da qui mi torna. Solo che poi rimane da dimostrare il caso in cui $f(x)=f(x_0)$, e a lezione non ho capito perché è stata considerata una successione $f(x_n)$ tale che $AAninN$ $f(x_n)=f(x_0)$ e tale che $x_n->x_0$. Grazie a questa ha detto che $f’(x_0)=0$ e successivamente (non ho capito perché) il professore è riuscito a dimostrare che la derivata di $g(f(x))$ in $x_0$ è zero. Vi ringrazio in anticipo.

[gugo82]

Me la ricordo diversa...

Poniamo:

$r(x) := \{((g(f(x)) - g(f(x_0)))/(f(x) - f(x_0)), ", se " f(x) != f(x_0)), (g^{\prime}(f(x_0)), ", altrimenti"):}$

di modo che resta definita in $A$ una funzione continua in $x_0$, perché:

$lim_(x -> x_0) r(x) = g^{\prime}(f(x_0))$.

Ma allora:

$lim_(x -> x_0) (g(f(x)) - g(f(x_0)))/(x - x_0) = lim_(x -> x_0) r(x) * (f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = g^{\prime}(f(x_0)) * f^{\prime}(x_0)$.

[ciaomammalolmao]

Quindi sostanzialmente si “elimina” il punto di discontinuità quando $f(x)=f(x_0)$? Così la funzione rimane continua ?