Dubbio su definizione di limite di una funzione
Buongiorno a tutti e buona domenica.
La nostra professoressa, ci ha appena dato le definizioni di limite di funzione quando x tende a x0. Ha insistito molto sul fatto che x0 deve essere un punto di accumulazione, altrimenti la definizione di limite non ha significato.
Qualcuno potrebbe dirmi il perché è così importante che x0 sia di accumulazione?
Grazie mille anticipatamente !
La nostra professoressa, ci ha appena dato le definizioni di limite di funzione quando x tende a x0. Ha insistito molto sul fatto che x0 deve essere un punto di accumulazione, altrimenti la definizione di limite non ha significato.
Qualcuno potrebbe dirmi il perché è così importante che x0 sia di accumulazione?
Grazie mille anticipatamente !
Risposte
Ma semplicemente per la definizione di punto di accumulazione, che dice:
$x_0$ è di accumulazione per $D$ se per ogni $r>0$ esiste $x\in D\setminus {x_0}$ tale per cui $x\in B_r(x_0)$.
Dove $B_r(x_0)={ x\in D : d(x,x_0)
Cioè se un punto è di accumulazione allora ci sono infiniti punti di $D$ (in questo caso $D$ è il dominio della funzione) in ogni bolla centrata in tale punto.
Poiché quando tu fai il limite chiedi che :
$$
\forall \epsilon >0 \exists \delta>0 : x\ne x_0\in B_\delta(x_0) \Rightarrow | f(x)-l|< \epsilon
$$
Se $x_0$ non fosse di accumulazione tu avresti dei problemi. Perché vorrebbe dire che esiste un $\delta>0$ sufficientemente piccolo tale per cui non ci sono più $x\ne x_0$ contenuti in un intorno di $x_0$ cioè non ci sono più punti $x\ne x_0$ tali per cui $|x-x_0|<\delta$ e questo indipendentemente dal concetto di limite.
Chiedendo che $x$ sia di accumulazioni se sicuro che indipendentemente dal limite della funzione(se esiste oppure no) di poter sempre dire che esiste $\delta>0$ tale per cui esistono $x\ne x_0\in D$ tali che $|x-x_0|<\delta$
In soldoni possiamo dire che quando fai il limite tu vuoi avvicinarti indefinitivamente mediante i punti $x$ al punto $x_0$ e per avvicinarti mediante tali punti è necessario che tali punti esistano in ogni intorno anche se piccolissimo di $x_0$ questa richiesta equivale a chiedere che $x_0$ sia di accumulazione.
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi, se ne hai altri non esitare a chiedere.
$x_0$ è di accumulazione per $D$ se per ogni $r>0$ esiste $x\in D\setminus {x_0}$ tale per cui $x\in B_r(x_0)$.
Dove $B_r(x_0)={ x\in D : d(x,x_0)
Cioè se un punto è di accumulazione allora ci sono infiniti punti di $D$ (in questo caso $D$ è il dominio della funzione) in ogni bolla centrata in tale punto.
Poiché quando tu fai il limite chiedi che :
$$
\forall \epsilon >0 \exists \delta>0 : x\ne x_0\in B_\delta(x_0) \Rightarrow | f(x)-l|< \epsilon
$$
Se $x_0$ non fosse di accumulazione tu avresti dei problemi. Perché vorrebbe dire che esiste un $\delta>0$ sufficientemente piccolo tale per cui non ci sono più $x\ne x_0$ contenuti in un intorno di $x_0$ cioè non ci sono più punti $x\ne x_0$ tali per cui $|x-x_0|<\delta$ e questo indipendentemente dal concetto di limite.
Chiedendo che $x$ sia di accumulazioni se sicuro che indipendentemente dal limite della funzione(se esiste oppure no) di poter sempre dire che esiste $\delta>0$ tale per cui esistono $x\ne x_0\in D$ tali che $|x-x_0|<\delta$
In soldoni possiamo dire che quando fai il limite tu vuoi avvicinarti indefinitivamente mediante i punti $x$ al punto $x_0$ e per avvicinarti mediante tali punti è necessario che tali punti esistano in ogni intorno anche se piccolissimo di $x_0$ questa richiesta equivale a chiedere che $x_0$ sia di accumulazione.
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi, se ne hai altri non esitare a chiedere.
Mi trovo abbastanza d'accordo con Bossner, a parte per la definizione che ha dato di punto di accumulazione per un insieme, infatti secondo la definizione data se $x_0 \in D$ nulla mi vieta di dire che per un $r$ sufficientemente piccolo $B_r(x_0)={x_0}$ ma questo contraddice la definizione perché avremmo trovato un intorno in cui non ci sono punti di $D$ diversi da $x_0$. Se invece a $B_r(x_0)$ togli il punto $x_0$ la definizione resta equivalente alla seguente:
$x_0$ si dice punto di accumulazione per un insieme $D$ se $\forall I(x_0)-{x_0}\ \exists x \in D nn I(x_0)-{x_0}$.
$x_0$ si dice punto di accumulazione per un insieme $D$ se $\forall I(x_0)-{x_0}\ \exists x \in D nn I(x_0)-{x_0}$.
Grazie $dan95$ errore di distrazione l'ho corretto.
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