Dubbio su definizione di funzione differenziabile

[Bomber91]

Salve a tutti!
Nei miei appunti, come definizione di funzione differenziabile ho scritto

$ f:(a,b) -> RR $ con $ x0 in (a,b) $ si dice differenziabile in x0 quando:
$ EE m in RR : f(x0+h)=f(x0)+f'(x0)h+o(h), per h -> 0 $

Però c'è qualcosa che non torna, sapreste dirmi quella corretta?
Grazie mille

[Rigel1]

"Bomber9": $ f:(a,b) -> RR $ con $ x0 in (a,b) $ si dice differenziabile in x0 quando:
$ EE m in RR : f(x0+h)=f(x0)+f'(x0)h+o(h), per h -> 0 $

$f(x_0+h) = f(x_0) + m h + o(h)$ per $h\to 0$.

[ViciousGoblin]

"Bomber9":Salve a tutti!
Nei miei appunti, come definizione di funzione differenziabile ho scritto

$ f:(a,b) -> RR $ con $ x_0 in (a,b) $ si dice differenziabile in $x_0$ quando:
$ EE m in RR : f(x_0+h)=f(x0)+f'(x_0)h+o(h), per h -> 0 $

Però c'è qualcosa che non torna, sapreste dirmi quella corretta?
Grazie mille

penso che debba essere

$ f:(a,b) -> RR $ con $ x0 in (a,b) $ si dice differenziabile in $x_0$ quando:
$ EE m in RR : f(x0+h)=f(x_0)+m h+o(h), "per " h -> 0 $

Allora è un fatto che $f$ differenziabile implica $f$ derivabile e $m=f'(x_0)$

[Bomber91]

Grazie a tutti!