Dubbio su definizione di funzione convessa
Ho qui davanti questa definizione:
Sia $f:A\to RR$, $A$ intervallo. Si dice che $f$ è convessa se
\[\forall x,y\in A,\ x\ne y,\ \forall\lambda\in [0,1],\quad f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) \]
Se vale la stretta minorazione ($<$), $f$ si dice strettamente convessa.
A me sembra che, in base a questa definizione, non esistano funzioni strettamente convesse
Infatti fissati $x$ e $y$ e scelto $\lambda =1$ dovrei avere
\[f(x)
Sia $f:A\to RR$, $A$ intervallo. Si dice che $f$ è convessa se
\[\forall x,y\in A,\ x\ne y,\ \forall\lambda\in [0,1],\quad f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) \]
Se vale la stretta minorazione ($<$), $f$ si dice strettamente convessa.
A me sembra che, in base a questa definizione, non esistano funzioni strettamente convesse
Infatti fissati $x$ e $y$ e scelto $\lambda =1$ dovrei avere\[f(x)
Risposte
La disuguaglianza stretta deve valere per \(x\neq y\) (come già specificato) e per \(\lambda\in (0,1)\).
Io trovo la seguente definizione
Se la diseguaglianza (da te riportata ) vale col segno $ < $ per $lambda in(0,1) $ allora la $f $ è strettamente convessa ; vengono così esclusi i valori $lambda= 0; 1 $.
Da notare che il punto $ x_(lambda) = lambda y + (1-lambda) x $ percorre il segmento $[ x, y] $ al variare di $ lambda in [0,1] $.
La funzione convessa è tale che l'ordinata della funzione in un punto qualunque intermedio tra $x $ e $ y $ è minore dell'ordinata dellla corda che unisce i punti estremi della funzione - spero si capisca...pensa a una parabola ad es . $ y = x^2 $ e considera i punti di ascissa $-2 ; 3 $ le ordinate agli estremi sono $ 4 , 9 $ .Se unisci i punti di coordinate $ ( -2, 4 ) ; ( 3,9) $ otterrai una corda che starà sempre sopra alla funzione , quindi la funzione è strettamente convessa.
Ovvio che per $ lambda = 0, 1 $ gli estremi della corda concidono con gli estremi della funzione.
Se la diseguaglianza (da te riportata ) vale col segno $ < $ per $lambda in(0,1) $ allora la $f $ è strettamente convessa ; vengono così esclusi i valori $lambda= 0; 1 $.
Da notare che il punto $ x_(lambda) = lambda y + (1-lambda) x $ percorre il segmento $[ x, y] $ al variare di $ lambda in [0,1] $.
La funzione convessa è tale che l'ordinata della funzione in un punto qualunque intermedio tra $x $ e $ y $ è minore dell'ordinata dellla corda che unisce i punti estremi della funzione - spero si capisca...pensa a una parabola ad es . $ y = x^2 $ e considera i punti di ascissa $-2 ; 3 $ le ordinate agli estremi sono $ 4 , 9 $ .Se unisci i punti di coordinate $ ( -2, 4 ) ; ( 3,9) $ otterrai una corda che starà sempre sopra alla funzione , quindi la funzione è strettamente convessa.
Ovvio che per $ lambda = 0, 1 $ gli estremi della corda concidono con gli estremi della funzione.
Oggi arrivo buon terzo.... 
Sì grazie ragazzi so di cosa parliamo, è solo che prima d'ora mai mi era capitato di soffermarmi su questo fatto (e su molti altri...). Adesso, ristudiando tutto daccapo, cerco di stare attento al più stupido dei dettagli 
Comunque in effetti ho cercato sul mio testo di riferimento e rileggo le parole di Rigel: la disuguaglianza stretta deve (può) valere solamente per $\lambda\in (0,1)$, una volta fissati $x$ e $y$ distinti.
Grazie ancora
so di cosa parliamo, è solo che prima d'ora mai mi era capitato di soffermarmi su questo fatto (e su molti altri...). Adesso, ristudiando tutto daccapo, cerco di stare attento al più stupido dei dettagli Comunque in effetti ho cercato sul mio testo di riferimento e rileggo le parole di Rigel: la disuguaglianza stretta deve (può) valere solamente per $\lambda\in (0,1)$, una volta fissati $x$ e $y$ distinti.
Grazie ancora
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