Dubbio su definizione di campo conservativo

[Gianni Trattore]

Salve, mi è venuto un dubbio sulla "definzione" di campo conservativo. Metto tra virgolette perché nelle mie dispense vengono definite 3 "affermazioni" equivalenti, e non sono sicuro se possano essere considerate definizioni o se di definizione ce me debba essere una sola.
Quella che mi interessa è che un campo è conservativo se gli integrali lungo 2 curve con gli stessi estremi sono uguali.
Quello di cui non sono sicuro è se questi integrali debbano essere tutti gli integrali possibili, oppure se basti trovare 2 curve che rispettino l'equivalenza?
Mi sembrava una questione ovvia ma mi viene il dubbio che l'equivalenza lungo 2 soli percorsi possa inferire l'equivalenza su tutti i percorsi, dato che non mi viene in mente nessun caso contrario.

[megas_archon]

non mi viene in mente nessun caso contrario.

Ci sono due problemi con questa congettura: il primo problema è che se fosse vera, sarebbe sufficiente scegliere un cammino costante, un cammino su cui l'integrale di una forma fa zero, e tutte le forme sarebbero sempre esatte. Questo è ovviamente falso (basta prendere la forma angolo nel piano)...

Quindi, appurato che la definizione di conservatività si dà rispetto a tutte le curve a estremi fissati, il secondo problema è che la definizione è invariante per omotopia: facendo il sommario, un campo è conservativo quando l'integrale su ogni classe di omotopia di cammini a estremi fissati è lo stesso. Questa definizione poi è equivalente a chiedere che l'integrale sia zero su ogni curva chiusa, perché nel lato non immediato è sufficiente rompere un cammino chiuso come congiunzione di due cammini.