Dubbio su Criterio di stretta monotonia

[barrux]

Il criterio afferma che se f è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora è strettamente crescente se:
- f'(x)>=0 per ogni x appartenente all' intervallo (a,b)
- f' non si annulla mai in (a,b)
Queste due condizioni non potrebbero essere raggruppate in questa:
- f'(x)>0 per ogni x appartenente all' intervallo (a,b)
? Grazie.

[Plepp]

Direi proprio di sì!

[Rigel1]

In realtà, nelle ipotesi date, \(f\) è strettamente monotona crescente se e solo se soddisfa le seguenti condizioni:
1) \(f'(x) \geq 0\) per ogni \(x\in (a,b)\);
2) \(f'\) non è identicamente nulla su alcun sottointervallo non banale contenuto in \((a,b)\).

Infatti \(f'\) si può annullare in qualche punto anche se \(f\) è strettamente crescente (basta considerare, ad esempio, la funzione \(f(x) = x^3\) che è strettamente crescente nonostante la sua derivata si annulli nell'origine).