Dubbio su continuità e monotonia

[djmp88]

Ciao a tutti.
Sto cercando di passare l'esame di analisi 1 ma non riesco a capire questo concetto.
Per quale motivo una funzione continua in un intervallo I con con $ f'(x)>0 $ all'interno di I eccetto al più un numero finito di punti dovrebbe essere strettamente crescente?
La definizione di funzione strett. crescente non è:
per ogni $ x1 f(x1) Perchè anche se in quei punti la derivata di f non è maggiore di 0 allora la funzione è strattamente crescente?
Ad esempio $x^3$ dato che $f'(0)=0$ anche se è crescente..
L'enunciato dovrebbe essere una conseguenza del Th. di Lagrange.
Spero di essere stato chiaro.
Grazie a tutti

[ViciousGoblin]

Ma se tu sapessi che $f'(x)>0$ per ogni $x$ sapresti dimostrare che $f$ e' strettamente crescente ?

[djmp88]

"ViciousGoblin":Ma se tu sapessi che $f'(x)>0$ per ogni $x$ sapresti dimostrare che $f$ e' strettamente crescente ?

Certo che saprei dimostrarlo.
Non capisco il ragionamento che c'è dietro quei punti in cui non lo è.

[Caenorhabditis]

Se in almeno un caso avessi $a>b$ e $f(a)

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[ViciousGoblin]

OK. Se guardi la dimostrazione per il caso "semplice" ti accorgi che per avere la crescenza stretta su $[a,b]$ ti basta $f'(x)>0$ per tutte le $x$ di $]a,b[$ (intervallo aperto) più la continuità di $f$ su $[a,b]$ (ipotesi per avere Lagrange). Ti torna?

Supponiamo ora che $f'(x)>0$ eccetto che in un punto: avremo $a0$ per tutti i punti di $]a,c[\cup]c,b[$. Per quanto detto sopra ne segue che $f$ è strettamente crescente sia su $[a,c]$ che su $[c,b]$. Ma allora $f$ deve essere strettamente crescente su $[a,b]$: per vederlo prendi $x_1 Chiaramente il discorso è analogo se invece di un solo punto $c$, ne hai un numero finito.

[djmp88]

Ah,ora ho capito.Insomma l'inghippo è proprio nell'enunciato.
Non consideravo il fatto che alla fine mi basta che sia f'>0 nell'intervallo aperto.
Grazie mille

[ViciousGoblin]

"djmp88":
.. il fatto che alla fine mi basta che sia f'>0 nell'intervallo aperto...

Esatto. Tra l'altro credo di averlo veramente capito anch'io mentre lo spiegavo .