Dubbio su continuità

[fabiett1]

Stavo pensando alla definizione di continuità e mi sorta in mente la funzione $arcsinx$. La definizione di continuità enuncia che una funzione è derivabile se $ lim_(x -> xo +) f(x)= lim_(x -> xo -) f(x)= f(xo)$.
Pertanto il mio dubbio è: la funzione $arcsinx$ è continua nel punto x = 1? Perché stando alla definizione non dovrebbe esserlo. Grazie per eventuali risposte chiarificatrici.

[donald_zeka]

Quella non è la definizione di continuità infatti.

[fabiett1]

E qual è allora?

[donald_zeka]

Sia $f:A->RR$ e $x_0 in A$, si dice che f è continua in $x_0$ se:

$AA I_(f(x_0)), EE U_(x_0) | x in U nn A rArr f(x) in I$

Come vedi non fa riferimento alla natura del punto $x_0$, che può quindi essere un punto isolato o punto di accumulazione.

Se $x_0$ è un punto di accumulazione allora si può dimostrare che f è continua in $x_0$ se e solo se:

$lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$, ma non vedo come questo possa in qualche modo dire che arcsinx non è continua in $x=1$ dato che $lim_(x->1)arcsinx=arcsin1$