Dubbio su Cartan - Continuità derivate funzioni olomorfe
Ciao a tutti. Nel Cartan, cap.2, n.2,p.4, il teorema di Cauchy ("funzione olomorfa implica forma chiusa") è dimostrato in due modi. Il primo richiede l'ipotesi aggiuntiva che le derivate parziali reali della funzione in questione siano continue. Si dice inoltre che la seconda prova dimostra che questa ipotesi aggiuntiva è automaticamente soddisfatta da ogni funzione olomorfa. Ora vorrei sapere in che modo lo dimostra, perchè questa seconda prova non usa assolutamente le derivate della funzione. Grazie.
Risposte
La dimostrazione a cui alludi è quella dovuta a Goursat (la variante con i rettangoli). Tra le due dimostrazioni, la seconda, quella che fa a meno dell'ipotesi di continuità sulle derivate parziali, è sicuramente la più bella.
Si considera un circuito rettangolare, si suppone che la funzione sia derivabile in senso complesso nei punti interni al rettangolo (oppure un triangolo) e si conclude che l'integrale esteso al rettangolo è $0$. Dopodiché si generalizza al caso dei poligoni per induzione...
Se uno, nel dimostrare il teorema di Cauchy, vuole tagliare corto con il teorema di Green, deve richiedere soddisfatta anche l'ipotesi di continuità della derivata.
Si considera un circuito rettangolare, si suppone che la funzione sia derivabile in senso complesso nei punti interni al rettangolo (oppure un triangolo) e si conclude che l'integrale esteso al rettangolo è $0$. Dopodiché si generalizza al caso dei poligoni per induzione...
Se uno, nel dimostrare il teorema di Cauchy, vuole tagliare corto con il teorema di Green, deve richiedere soddisfatta anche l'ipotesi di continuità della derivata.
Grazie per risposta. Il mio problema è proprio che Cartan dice che la seconda prova mostra anche che tutte le funzioni olomorfe hanno le derivate parziali continue. ("In fact the second proof shows that this hypothesis in automatically satisfied when f is holomorphic"). E io questa cosa non la vedo.
In realtà, quella frase non è da intendersi alla lettera come "Leggendo la seconda dimostrazione si capirà che le funzioni olomorfe hanno la derivata continua".
Piuttosto è da interpretarsi come segue: "La seconda dimostrazione mostra che è possibile provare il teorema senza sfruttare la continuità delle derivate; da tale teorema epurato seguirà, con un po' di lavoro, che la derivata prima di una funzione olomorfa è a sua volta olomorfa e quindi continua. Pertanto l'uso, che sembrerebbe del tutto ingiustificato, della continuità di \(f_x, f_y\) nella prima dimostrazione è lecito (anche se così non sembrerebbe ad una prima occhiata)."
Piuttosto è da interpretarsi come segue: "La seconda dimostrazione mostra che è possibile provare il teorema senza sfruttare la continuità delle derivate; da tale teorema epurato seguirà, con un po' di lavoro, che la derivata prima di una funzione olomorfa è a sua volta olomorfa e quindi continua. Pertanto l'uso, che sembrerebbe del tutto ingiustificato, della continuità di \(f_x, f_y\) nella prima dimostrazione è lecito (anche se così non sembrerebbe ad una prima occhiata)."
Grazie. Era quello che credevo, peccato aver perso tempo a cercare di sbrogliare un semplice difetto di capacità di esprimersi dell'autore.
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