Dubbio su carattere serie
Ciao ragazzi, ho un dubbio sul procedimento di una serie della quale devo analizzare il carattere.
La serie in questione è:
$ sum(arctan(n!)+sen(n^2)+n)/ (n^2+1)log((n+3)/(n+2)) $
Con N che va da 1 a infinito.
Io procedo per la parte a sinistra tenendo conto della gerarchia degli infiniti e sapendo che l'arcotg a infinito vale $ pi/2 $
$ rArr (pi/2+n^2+n)/(n^2 $
Mentre per il logaritmo me lo riporto nella forma (1+x) cosi che di coseguenza esso tenderà ad X
$ log((n+3)/(n+2))=log(1+1/(n+2))~ 1/(n+2)~1/n $
Quindi ora usando la "gerarchia degli infiniti" al numeratore,cosi come al denominatore so che prevale $ n^2 $
$ rArr (n^2)/n^2*1/n=1/n $
E di conseguenza la mia serie diverge per il criterio del confronto asintotico.
Ha senso o ho sbagliato qualcosa? Vi ringrazio !
La serie in questione è:
$ sum(arctan(n!)+sen(n^2)+n)/ (n^2+1)log((n+3)/(n+2)) $
Con N che va da 1 a infinito.
Io procedo per la parte a sinistra tenendo conto della gerarchia degli infiniti e sapendo che l'arcotg a infinito vale $ pi/2 $
$ rArr (pi/2+n^2+n)/(n^2 $
Mentre per il logaritmo me lo riporto nella forma (1+x) cosi che di coseguenza esso tenderà ad X
$ log((n+3)/(n+2))=log(1+1/(n+2))~ 1/(n+2)~1/n $
Quindi ora usando la "gerarchia degli infiniti" al numeratore,cosi come al denominatore so che prevale $ n^2 $
$ rArr (n^2)/n^2*1/n=1/n $
E di conseguenza la mia serie diverge per il criterio del confronto asintotico.
Ha senso o ho sbagliato qualcosa? Vi ringrazio !
Risposte
"GigiiAnalisi":
Ha senso o ho sbagliato qualcosa?
Sicuro che $sin n^2 ~~ n^2$?
"gugo82":
[quote="GigiiAnalisi"]Ha senso o ho sbagliato qualcosa?
Sicuro che $sin n^2 ~~ n^2$?[/quote]
Ora non più
Puoi dirmi perchè no ?
Ok come non detto, al numeratore ho tutte funzioni limitate quindi esso tenderà semplicemente a N. Di conseguenza $ (n)/(n^2)*1/n =>1/n^2 $
Di conseguenza la mia serie, per il confronto asintotica, convergerà.
Mi sono confuso perchè innanzitutto al numeratore ho una somma, e le stime asintotiche hanno problemi nel caso di somme/sottrazioni.
La situazione sarebbe stata diversa se avessi avuto ad esempio $ sum_(n =1 \ldots)^oo sen1/n $ $ ~ 1/n $
Perchè in questo caso $ senx ~ x $ per $ x ->0 $
Così è giusto come ragionamento ?
Vi ringrazio!
Di conseguenza la mia serie, per il confronto asintotica, convergerà.
Mi sono confuso perchè innanzitutto al numeratore ho una somma, e le stime asintotiche hanno problemi nel caso di somme/sottrazioni.
La situazione sarebbe stata diversa se avessi avuto ad esempio $ sum_(n =1 \ldots)^oo sen1/n $ $ ~ 1/n $
Perchè in questo caso $ senx ~ x $ per $ x ->0 $
Così è giusto come ragionamento ?
Vi ringrazio!
Ciao GigiiAnalisi,
Secondo me, oltre la corretta osservazione di gugo82, hai sbagliato anche a scrivere o ad analizzare la serie, perché
$log(n + 3)/(n + 2) \ne log(\frac{n +3}{n + 2}) $
mentre
"GigiiAnalisi":
Ha senso o ho sbagliato qualcosa?
Secondo me, oltre la corretta osservazione di gugo82, hai sbagliato anche a scrivere o ad analizzare la serie, perché
$log(n + 3)/(n + 2) \ne log(\frac{n +3}{n + 2}) $
mentre
"GigiiAnalisi":
Mentre per il logaritmo me lo riporto nella forma (1+x) cosi che di coseguenza esso tenderà ad X
$ log((n+3)/(n+2))=log(1+1/(n+2)) [...]$
"GigiiAnalisi":
[quote="gugo82"][quote="GigiiAnalisi"]Ha senso o ho sbagliato qualcosa?
Sicuro che $sin n^2 ~~ n^2$?[/quote]
Ora non più
Puoi dirmi perchè no ?[/quote]
Perché non lo dici tu a me? È un utile esercizio.
"GigiiAnalisi":
Ok come non detto, al numeratore ho tutte funzioni limitate quindi esso tenderà semplicemente a N. Di conseguenza $ (n)/(n^2)*1/n =>1/n^2 $
Di conseguenza la mia serie, per il confronto asintotica, convergerà.
Mi sono confuso perchè innanzitutto al numeratore ho una somma, e le stime asintotiche hanno problemi nel caso di somme/sottrazioni.
La situazione sarebbe stata diversa se avessi avuto ad esempio $ sum_(n =1 \ldots)^oo sen1/n $ $ ~ 1/n $
Perchè in questo caso $ senx ~ x $ per $ x ->0 $
Così è giusto come ragionamento ?
Vi ringrazio!
Ciao, forse non hai letto questo messaggio! Io l'ho pensata in questo modo!
Per quanto riguarda il logaritmo, rispondo a pilloeffe, mi sono sbagliato a scrivere la formula, in realtà il testo è:
$ log((n+3)/(n+2)) $
Colpa mia
"GigiiAnalisi":
[quote="GigiiAnalisi"]Ok come non detto, al numeratore ho tutte funzioni limitate quindi esso tenderà semplicemente a N. Di conseguenza $ (n)/(n^2)*1/n =>1/n^2 $
Di conseguenza la mia serie, per il confronto asintotica, convergerà.
Mi sono confuso perchè innanzitutto al numeratore ho una somma, e le stime asintotiche hanno problemi nel caso di somme/sottrazioni.
La situazione sarebbe stata diversa se avessi avuto ad esempio $ sum_(n =1 \ldots)^oo sen1/n $ $ ~ 1/n $
Perchè in questo caso $ senx ~ x $ per $ x ->0 $
Così è giusto come ragionamento ?
Vi ringrazio!
Ciao, forse non hai letto questo messaggio! Io l'ho pensata in questo modo![/quote]
Ho letto… Ma mi interessa di più capire se hai capito perché $sin n^2 ~~ n^2$ è falso, piuttosto che commentare il resto.
Ciao gugo, grazie per la risposta.
Io ho provato a ragionare su quel seno, ed ho pensato che dato che esso è una funzione limitata di conseguenza non può tendere al suo argomento, sicuramente su quel Numeratore c'è qualcosa di più "forte" di lui.
Sbaglio ?
Io ho provato a ragionare su quel seno, ed ho pensato che dato che esso è una funzione limitata di conseguenza non può tendere al suo argomento, sicuramente su quel Numeratore c'è qualcosa di più "forte" di lui.
Sbaglio ?
"GigiiAnalisi":
E di conseguenza la mia serie diverge per il criterio del confronto asintotico.
In realtà, ragionando correttamente, la serie proposta
$\sum_{n = 1}^{+\infty}(arctan(n!)+sin(n^2)+n)/(n^2+1) log((n+3)/(n+2)) $
ha lo stesso comportamento della serie armonica generalizzata $ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 $ e pertanto converge.
E' Natale e siamo tutti più buoni.
@Gigii
Ragioniamo su valori di n molto grandi e cerchiamo di ottenere una soluzione per confronto.
Tralasciamo la sommatoria e concentriamoci sui singoli termini.
$arctan(n!)$ cresce rapidamente verso $pi/2$: è il suo "tetto"
$sin(n^2)$ come qualsiasi altro seno oscilla fra -1 e +1
$ln((n+3)/(n+2)) -> ln(1) -> 0$
$n -> oo$
Messo così, l'intero argomento della sommatoria tende $0/oo$ e non ci piace.
Però hai notato che $ln((n+3)/(n+2)) =ln(1+1/(n+2))$ e se fosse stato:
$(n+2)ln(1+1/(n+2))=ln[(1+1/(n+2))^(n+2)]$ l'argomento del log tenderebbe ad $e$ (limite notevole) e quindi il log tenderebbe ad 1.
E allora sommiamo $+2$ e $-2$ al numeratore e raccogliamo $(n+2)$, ottenendo:
$1/(n^2+1)(arctan(n!)/(n+2)+sin(n^2)/(n+2)-2/(n+2)+1)ln[(1+1/(n+2))^(n+2)] ~= 1/(n^2+1)$
ovvero, per n molto grandi la sommatoria si comporta come ha scritto pilloeffe.
@Gigii
Ragioniamo su valori di n molto grandi e cerchiamo di ottenere una soluzione per confronto.
Tralasciamo la sommatoria e concentriamoci sui singoli termini.
$arctan(n!)$ cresce rapidamente verso $pi/2$: è il suo "tetto"
$sin(n^2)$ come qualsiasi altro seno oscilla fra -1 e +1
$ln((n+3)/(n+2)) -> ln(1) -> 0$
$n -> oo$
Messo così, l'intero argomento della sommatoria tende $0/oo$ e non ci piace.
Però hai notato che $ln((n+3)/(n+2)) =ln(1+1/(n+2))$ e se fosse stato:
$(n+2)ln(1+1/(n+2))=ln[(1+1/(n+2))^(n+2)]$ l'argomento del log tenderebbe ad $e$ (limite notevole) e quindi il log tenderebbe ad 1.
E allora sommiamo $+2$ e $-2$ al numeratore e raccogliamo $(n+2)$, ottenendo:
$1/(n^2+1)(arctan(n!)/(n+2)+sin(n^2)/(n+2)-2/(n+2)+1)ln[(1+1/(n+2))^(n+2)] ~= 1/(n^2+1)$
ovvero, per n molto grandi la sommatoria si comporta come ha scritto pilloeffe.
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