Dubbio su campi vettoriali e forme differenziali
Salve!
Mi sto ritrovando a studiare i campi vettoriali e le forme differenziali. Ora non ho problemi a comprendere la definizione, più che altro mi risulta dubbio cosa stiano cercando di modellizzare questi due concetti; nel mio libro di testo non sono particolarmente motivati. Quindi come vengono motivati questi concetti?
Ho letto che sono in qualche senso una estensione del concetto di funzione, ma non mi è ben chiaro come.
Inoltre che rapporto hanno con il concetto di differenziale?
Mi sto ritrovando a studiare i campi vettoriali e le forme differenziali. Ora non ho problemi a comprendere la definizione, più che altro mi risulta dubbio cosa stiano cercando di modellizzare questi due concetti; nel mio libro di testo non sono particolarmente motivati. Quindi come vengono motivati questi concetti?
Ho letto che sono in qualche senso una estensione del concetto di funzione, ma non mi è ben chiaro come.
Inoltre che rapporto hanno con il concetto di differenziale?
Risposte
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E' una storia lunga; se vuoi una risposta come si deve, devi allocare molto tempo per capirla. Tra le due nozioni (campo e forma) c'è una relazione, che è stata sviscerata abbondantemente in milioni di discussioni su internet (ti consiglio di cercare in inglese, se non altro per la mole incredibile di materiale). Ognuno sembra trattare l'argomento come se la relazione fosse uno-ad-uno, ma questo è vero/conveniente solo quando parli di 1-forme VS campi vettoriali. Molto presto studiando fisica o geometria diventano altrettanto importanti le 2-forme, 3-forme, ..., n-forme. E per queste esiste un unico linguaggio.
Alcuni esempi di thread altrove che fanno la tua stessa domanda: https://math.stackexchange.com/question ... tial-forms oppure https://mathoverflow.net/questions/2693 ... tial-forms oppure https://mathoverflow.net/questions/2508 ... nd-physics
Il problema di queste spiegazioni è che pur essendo "elementari" fanno ricorso a una serie di nozioni che per un po' di tempo sono estremamente avanzate (per esempio, la dualità di spazzi vettoriali, il concetto di varietà, di fibrato... ciascuna di queste nozioni non è difficile di per sé, ma a metterle insieme viene la geometria differenziale nella sua quasi totalità). Quindi il meglio che mi sembra possibile consigliare è: leggi qualcosa, e fai una domanda puntuale rispetto a qualcosa che non capisci. Da lì, metti in conto qualche anno prima di capire davvero cosa stai facendo (e nel frattempo, impara a usare i concetti, c'è chiaramente un fenomeno alla Von Neumann qui, per cui capisci cos'è un aggeggio usandolo finché non ti ci abitui al punto da trovarlo ovvio).
Un ottimo libro di geometria differenziale in italiano che parte dalle nozioni minime e copre con grande dettaglio tutto quello che c'è da sapere sulle forme differenziali è quello scritto da Abate-Tovena. Ci sono libri migliori, ma questo è decisamente il tradeoff migliore per sapere "di cosa parliamo quando parliamo [strike]d'amore[/strike] di \(dx\land dy\)".
Detto questo, il problema enorme dietro questa storia è che puoi avvicinarla da diversi angoli (la geometria, l'algebra, la fisica, l'analisi...) ciascuna ha una sua storia da raccontare, e diventa molto in fretta un dialogo tra sordi quello di chi vuole -per inclinazione o necessità- una spiegazione analitica e ascolta uno che gli spiega cos'è un'algebra di Clifford. Una cosa che a suo tempo aiutò molto me fu capire che il linguaggio delle forme differenziali permette di catturare la differenza tra grandezze fisiche intensive ed estensive; le une dipendono dal volume, le altre no; le une sono modellate da 0-forme, le altre da n-forme, quindi anche se sono entrambe grandezze che si rappresentano con degli scalari, sono "diverse per un motivo che è possibile formalizzare".
Alcuni esempi di thread altrove che fanno la tua stessa domanda: https://math.stackexchange.com/question ... tial-forms oppure https://mathoverflow.net/questions/2693 ... tial-forms oppure https://mathoverflow.net/questions/2508 ... nd-physics
Il problema di queste spiegazioni è che pur essendo "elementari" fanno ricorso a una serie di nozioni che per un po' di tempo sono estremamente avanzate (per esempio, la dualità di spazzi vettoriali, il concetto di varietà, di fibrato... ciascuna di queste nozioni non è difficile di per sé, ma a metterle insieme viene la geometria differenziale nella sua quasi totalità). Quindi il meglio che mi sembra possibile consigliare è: leggi qualcosa, e fai una domanda puntuale rispetto a qualcosa che non capisci. Da lì, metti in conto qualche anno prima di capire davvero cosa stai facendo (e nel frattempo, impara a usare i concetti, c'è chiaramente un fenomeno alla Von Neumann qui, per cui capisci cos'è un aggeggio usandolo finché non ti ci abitui al punto da trovarlo ovvio).
Un ottimo libro di geometria differenziale in italiano che parte dalle nozioni minime e copre con grande dettaglio tutto quello che c'è da sapere sulle forme differenziali è quello scritto da Abate-Tovena. Ci sono libri migliori, ma questo è decisamente il tradeoff migliore per sapere "di cosa parliamo quando parliamo [strike]d'amore[/strike] di \(dx\land dy\)".
Detto questo, il problema enorme dietro questa storia è che puoi avvicinarla da diversi angoli (la geometria, l'algebra, la fisica, l'analisi...) ciascuna ha una sua storia da raccontare, e diventa molto in fretta un dialogo tra sordi quello di chi vuole -per inclinazione o necessità- una spiegazione analitica e ascolta uno che gli spiega cos'è un'algebra di Clifford. Una cosa che a suo tempo aiutò molto me fu capire che il linguaggio delle forme differenziali permette di catturare la differenza tra grandezze fisiche intensive ed estensive; le une dipendono dal volume, le altre no; le une sono modellate da 0-forme, le altre da n-forme, quindi anche se sono entrambe grandezze che si rappresentano con degli scalari, sono "diverse per un motivo che è possibile formalizzare".
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