Dubbio su calcolo somma serie di potenze
Salve a tutti, stavo svolgendo un esercizio sulle serie di potenze quando mi sono reso conto di aver sbagliato senza riuscire a capire dove.
Supponiamo di voler studiare la somma della serie
$sum_{0}^{+oo}x^n/(n+1)$ che so essere uguale a $-(ln(1-x))/x$
Io procedo in questo modo, supposto $x!=0 \and abs(x)<1$
$sum_{0} x^n/(n+1)=1/x sum_{0} (x^(n+1))/(n+1)$
A questo punto chiamo $f(x)=sum_{0}(x^(n+1)/(n+1))$
$f'(x) = sum_{1}x^n \rArr f'(x) = sum_{0}x^n -1=1/(1-x)-1 \rArr f(x) = int (1/(1-x)-1)dx$
$\rArr f(x) = -ln(1-x)-x$
torno alla serie originale ed ho che $1/x*sum_{0}x^(n+1)/(n+1) = -1/x* (ln(1-x)+x)$
Che non è quanto mi aspettavo, dato che quello è il risultato della serie che parte da 1, ed ho anche notato che questa coincidenza si verifica se non sempre, spesso.
Come mai?Forse perchè aggiungendo e sottraendo nella serie derivata ho fatto qualcosa di illecito facedo tornare l'indice di partenza di quella serie a 0?
Grazie mille in anticipo
Supponiamo di voler studiare la somma della serie
$sum_{0}^{+oo}x^n/(n+1)$ che so essere uguale a $-(ln(1-x))/x$
Io procedo in questo modo, supposto $x!=0 \and abs(x)<1$
$sum_{0} x^n/(n+1)=1/x sum_{0} (x^(n+1))/(n+1)$
A questo punto chiamo $f(x)=sum_{0}(x^(n+1)/(n+1))$
$f'(x) = sum_{1}x^n \rArr f'(x) = sum_{0}x^n -1=1/(1-x)-1 \rArr f(x) = int (1/(1-x)-1)dx$
$\rArr f(x) = -ln(1-x)-x$
torno alla serie originale ed ho che $1/x*sum_{0}x^(n+1)/(n+1) = -1/x* (ln(1-x)+x)$
Che non è quanto mi aspettavo, dato che quello è il risultato della serie che parte da 1, ed ho anche notato che questa coincidenza si verifica se non sempre, spesso.
Come mai?Forse perchè aggiungendo e sottraendo nella serie derivata ho fatto qualcosa di illecito facedo tornare l'indice di partenza di quella serie a 0?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Perché la serie di $f'$ parte da $n=1$ quando la serie di $f$ parte da $n=0$? Se parti da $n=0$ ottieni il risultato corretto, non capisco perché hai fatto partire l'indice della serie di $f'$ da $n=1$ (forse mi sta sfuggendo qualcosa di ovvio, ma non lo vedo; io avrei impavidamente fatto partire la serie di $f'$ da $n=1$).
Ciao caffeinaplus,
Beh naturalmente ha ragione Mephlip, però mi è venuto il sospetto che tu non abbia ben capito perché...
Per rendertene conto, prova a scrivere i termini esplicitamente:
$f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^{n+1}/(n+1) = x + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 + ... $
Quindi si ha:
$f'(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = 1/(1 - x) $
Beh naturalmente ha ragione Mephlip, però mi è venuto il sospetto che tu non abbia ben capito perché...
Per rendertene conto, prova a scrivere i termini esplicitamente:
$f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^{n+1}/(n+1) = x + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 + ... $
Quindi si ha:
$f'(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n = 1/(1 - x) $
Salve e grazie a tutti e due 
Ammetto che avevo iniziato a fare il cambio indice in automatico, senza rendermi conto che qui non ce ne è il bisogno dato che il primo termine non è nullo.
Detto questo, allora vorrei capire il problema che ho nella serie che mi ha portato a postare l'esempio precedente (spero che si possa fare, in caso contrario se i moderatori me lo faranno presente aprirò una nuova discussione)
Sia $sum_{0}^{+oo}x^n/(n!*(n+2))$ noto che il raggio di convergenza è $+oo$
Dato che quella serie mi fa pensare molto ad $e^x$ cerco un modo di ricondurmici
supposto $x!=0$
$1/x^2*sum_{0}(x^(n+2))/(n!*(n+2)$ chiamo $f(x)=sum_{0}x^(n+2)/(n!*(n+2))$
$\rArr f'(x)=sum_{0}1/(n!*(n+2))(d(x^(n+2)))/(dx)$
cioè $(d(x^2+x^3+x^4+x^5+...))/(dx)=2x+3x^2+4x^3+...$ cioè in generale $(n+2)x^(n+1)$
quindi $f'(x) = sum_{0}x^(n+1)/(n!)=x*sum_{0}x^n/(n!)=x*e^x$
Dunque $f(x)=int xe^xdx = (x-1)e^x$
Ricordandoci della serie di partenza si ottiene che $1/x^2*sum_{0}^{+oo}(x^(n+2))/(n!*(n+2))=((x-1)e^x)/(x^2)$
Mentre il risultato corretto è $(e^x(x-1)+1)/x^2$
Grazie mille in anticipo
Ammetto che avevo iniziato a fare il cambio indice in automatico, senza rendermi conto che qui non ce ne è il bisogno dato che il primo termine non è nullo.
Detto questo, allora vorrei capire il problema che ho nella serie che mi ha portato a postare l'esempio precedente (spero che si possa fare, in caso contrario se i moderatori me lo faranno presente aprirò una nuova discussione)
Sia $sum_{0}^{+oo}x^n/(n!*(n+2))$ noto che il raggio di convergenza è $+oo$
Dato che quella serie mi fa pensare molto ad $e^x$ cerco un modo di ricondurmici
supposto $x!=0$
$1/x^2*sum_{0}(x^(n+2))/(n!*(n+2)$ chiamo $f(x)=sum_{0}x^(n+2)/(n!*(n+2))$
$\rArr f'(x)=sum_{0}1/(n!*(n+2))(d(x^(n+2)))/(dx)$
cioè $(d(x^2+x^3+x^4+x^5+...))/(dx)=2x+3x^2+4x^3+...$ cioè in generale $(n+2)x^(n+1)$
quindi $f'(x) = sum_{0}x^(n+1)/(n!)=x*sum_{0}x^n/(n!)=x*e^x$
Dunque $f(x)=int xe^xdx = (x-1)e^x$
Ricordandoci della serie di partenza si ottiene che $1/x^2*sum_{0}^{+oo}(x^(n+2))/(n!*(n+2))=((x-1)e^x)/(x^2)$
Mentre il risultato corretto è $(e^x(x-1)+1)/x^2$
Grazie mille in anticipo
Prego!
Non ti torna perché usi un po' a caso il calcolo integrale (come me un tempo, infatti sono stato giustamente bacchettato), questo te lo volevo dire pure nell'altro post (e ho sbagliato a non farlo, ma fortunatamente hai chiesto quest'altra cosa e quindi possiamo rimediare).
Il punto è questo: quando hai integrato in maniera indefinita in quest'ultimo messaggio, quella che dai tu non è la famiglia delle primitive di $f$ ma solo una primitiva; nel caso specifico, quella per $c=0$.
Quindi puoi fare due cose: o integri in maniera indefinita e deduci chi è $c$ oppure integri in maniera definita in un intervallo sensato e ti trovi tutto in automatico.
Il secondo modo è quello più rigoroso: giunti ad $f'(x)=xe^x$, integrando ambo i membri nell'intervallo $(0,x)$ risulta
$$\int_0^x f'(t) \text{d}t = \int_0^x te^t \text{d}t$$
Dunque per il teorema fondamentale del calcolo integrale è
$$f(x)-f(0)=(x-1)e^x+1$$
Ma $f(0)=0$ in quanto è la serie di $0$; dunque giungi a
$$\frac{1}{x^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{n!(n+2)}=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$$
Ossia all'agognato risultato
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!(n+2)}=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$$
Non ti torna perché usi un po' a caso il calcolo integrale (come me un tempo, infatti sono stato giustamente bacchettato
), questo te lo volevo dire pure nell'altro post (e ho sbagliato a non farlo, ma fortunatamente hai chiesto quest'altra cosa e quindi possiamo rimediare).Il punto è questo: quando hai integrato in maniera indefinita in quest'ultimo messaggio, quella che dai tu non è la famiglia delle primitive di $f$ ma solo una primitiva; nel caso specifico, quella per $c=0$.
Quindi puoi fare due cose: o integri in maniera indefinita e deduci chi è $c$ oppure integri in maniera definita in un intervallo sensato e ti trovi tutto in automatico.
Il secondo modo è quello più rigoroso: giunti ad $f'(x)=xe^x$, integrando ambo i membri nell'intervallo $(0,x)$ risulta
$$\int_0^x f'(t) \text{d}t = \int_0^x te^t \text{d}t$$
Dunque per il teorema fondamentale del calcolo integrale è
$$f(x)-f(0)=(x-1)e^x+1$$
Ma $f(0)=0$ in quanto è la serie di $0$; dunque giungi a
$$\frac{1}{x^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{n!(n+2)}=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$$
Ossia all'agognato risultato
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!(n+2)}=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}$$
Ciao e grazie mille
In effetti avevo battuto la strada dell'integrale definito, solo che non riuscivo a spiegarmi perchè potessi integrare da $0$ a $x$ e non da chessò $57$ a $x$, ora però che l'ho visto da te mi rendo conto perchè è lecito.
Grazie mille ancora!
Un'ultima domanda: dunque, supponendo di avere un certo valore $x_0$ per cui $f(x_0)=0$ è lecito sceglierlo come estremo di integrazione, ammesso che $x_0$ rientri ancora nel nostro intervallo di convergenza uniforme, giusto?
In effetti avevo battuto la strada dell'integrale definito, solo che non riuscivo a spiegarmi perchè potessi integrare da $0$ a $x$ e non da chessò $57$ a $x$, ora però che l'ho visto da te mi rendo conto perchè è lecito.
Grazie mille ancora!
Un'ultima domanda: dunque, supponendo di avere un certo valore $x_0$ per cui $f(x_0)=0$ è lecito sceglierlo come estremo di integrazione, ammesso che $x_0$ rientri ancora nel nostro intervallo di convergenza uniforme, giusto?
Prego di nuovo! Sì, in questo caso hai usato la convergenza uniforme per scambiare derivata e serie, quindi l'intervallo di integrazione deve essere contenuto in quello di convergenza uniforme; non è necessario che $f(x_0)=0$, l'importante è che tu sappia calcolare $f(x_0)$.
Nel caso dell'ultima serie di potenze, se avessi integrato nell'intervallo $(57,x)$ avrei dovuto calcolare
$$f(57)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{57^n}{n!(n+2)}$$
Che ora a posteriori so fare, è $\frac{56e^{57}+1}{57^2}$, ma a priori sarebbe stato sicuramente più scomodo.
Esempio banale: se la serie fosse stata
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n!(n+2)}$$
Dopo aver ragionato analogamente, avrei integrato in $(1,x)$ perché $f(1)=0$; se mi viene in mente un esempio meno banale in cui c'è un generico $f(x_0)$ te lo scrivo!
Nel caso dell'ultima serie di potenze, se avessi integrato nell'intervallo $(57,x)$ avrei dovuto calcolare
$$f(57)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{57^n}{n!(n+2)}$$
Che ora a posteriori so fare, è $\frac{56e^{57}+1}{57^2}$, ma a priori sarebbe stato sicuramente più scomodo.
Esempio banale: se la serie fosse stata
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n!(n+2)}$$
Dopo aver ragionato analogamente, avrei integrato in $(1,x)$ perché $f(1)=0$; se mi viene in mente un esempio meno banale in cui c'è un generico $f(x_0)$ te lo scrivo!
Si mi era chiaro che posso prendere qualunque punto dove ho convergenza uniforme, però diciamo che la scelta più semplice è al centro dell'intervallo di convergenza.
Tutto chiaro comunque
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