Dubbio su calcolo della derivata
Salve, ho un problema con la risoluzione di questa derivata. Se dovessi trovare una formula esplicita, mediante il calcolo del rapporto incrementale, della derivata di questa funzione. $f(x)=x^2sen(1/x^2)$ se $x!=0$ e $0$ se $x=0$.. vedo che è continua in 0 e che è derivabile in 0 con derivata nulla. Non riesco però a risolvere questo limite in un caso di x generico.. $lim(h to 0) (f(x+h)-f(0))/h$ ... non riesco a risolverlo.. qualcuno mi può aiutare? Grazie mille!
Risposte
In primis,
$$f'(x) \triangleq \lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(x+\Delta h) - f(\color{red} {x} )}{\Delta h}$$
per il resto magari mostraci quello che hai tentato.
"Appinmate":
$ lim(h to 0) (f(x+h)-f(0))/h $ ... non riesco a risolverlo.. qualcuno mi può aiutare? Grazie mille!
$$f'(x) \triangleq \lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(x+\Delta h) - f(\color{red} {x} )}{\Delta h}$$
per il resto magari mostraci quello che hai tentato.
sì scusate errore di battitura 
.. comunque arrivo a scrivere $lim(h to 0) ((x+h)^2 * sen(1/(x+h)^2)-x^2sen(1/x^2))/h$ e poi non so come risolvere questo limite
.. comunque arrivo a scrivere $lim(h to 0) ((x+h)^2 * sen(1/(x+h)^2)-x^2sen(1/x^2))/h$ e poi non so come risolvere questo limite
Scusate se uppo ma non so come risolvere
Il limite è un po' laborioso, mi limiterò a scriverti i passaggi principali altrimenti ci metterei un'ora e passa; il resto devi calcolartelo da te, ti scrivo il risultato finale di modo che potrai confrontarlo con i tuoi conti 
L'idea principale è questa:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left[x\left(1+\frac{h}{x}\right)\right]^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{h}=$$
$$=\lim_{h\to0}\frac{x^2\left(1+\frac{h}{x}\right)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x^2\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]}{h}$$
A questo punto usiamo lo sviluppo di $\left(1+\gamma(h)\right)^\alpha$, che se $\gamma(h)\to0$ per $h\toh_0$ risulta $\left(1+\gamma(h)\right)^\alpha=1+\alpha\gamma(h)+o\left(\gamma(h)\right)$.
Nel nostro caso lo usiamo con $\gamma(h)=\frac{h}{x}$ e $\alpha=2$, infatti $\frac{h}{x}\to0$ per $h\to0$; pertanto risulta $$\left(1+\frac{h}{x}\right)^2=1+\frac{2h}{x}+o(h)$$
Perciò si ha
$$\lim_{h\to0}\frac{x^2\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x^2\left[\left(1+\frac{2h}{x}+o(h)\right)\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]}{h}=$$
$$=\lim_{h\to0}\frac{x^2\left[\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)+\frac{2h}{x}\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)+o(h)\right]}{h}$$
Qui inizia la parte un po' esotica che mi limiterò dallo scrivere in formule: in buona sostanza puoi ora spezzare il limite nella somma di due limiti, uno composto dalla "quantità centrale" delle tre quantità al numeratore e l'altro composto "dalla prima e dalla terza" quantità al numeratore.
Il pezzo centrale, quello con $\frac{2h}{x}\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)$ per intenderci, è tranquillo; tende a $2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$.
Per quanto riguarda l'altro limite
$$\lim_{h\to0}\frac{x^2}{h}\left[\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]$$
Puoi usare le noiosissime formule di prostaferesi (o Werner, non mi ricordo mai chi dei due sia), ossia
$$\sin\phi-\sin\psi=2\cos\left(\frac{\phi+\psi}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi-\psi}{2}\right)$$
E dovrai infine solo trattare quel seno rimanente nel prodotto della formula di prostaferesi (o Werner) con il limite notevole classico del seno.
Alla fine arriverai alla tanto agognata espressione finale
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{h}=2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{2\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x}$$
Probabilmente si può fare anche senza le inusuali formule trigonometriche, ma non sapendo il tuo grado di conoscenza ho preferito mantenermi sul limite notevole $\left(1+\gamma(h)\right)^\alpha$ ed evitare De L'Hôpital perché penso sia molto più istruttivo imparare a fare così i limiti.
L'idea principale è questa:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left[x\left(1+\frac{h}{x}\right)\right]^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{h}=$$
$$=\lim_{h\to0}\frac{x^2\left(1+\frac{h}{x}\right)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x^2\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]}{h}$$
A questo punto usiamo lo sviluppo di $\left(1+\gamma(h)\right)^\alpha$, che se $\gamma(h)\to0$ per $h\toh_0$ risulta $\left(1+\gamma(h)\right)^\alpha=1+\alpha\gamma(h)+o\left(\gamma(h)\right)$.
Nel nostro caso lo usiamo con $\gamma(h)=\frac{h}{x}$ e $\alpha=2$, infatti $\frac{h}{x}\to0$ per $h\to0$; pertanto risulta $$\left(1+\frac{h}{x}\right)^2=1+\frac{2h}{x}+o(h)$$
Perciò si ha
$$\lim_{h\to0}\frac{x^2\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]}{h}=\lim_{h\to0}\frac{x^2\left[\left(1+\frac{2h}{x}+o(h)\right)\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]}{h}=$$
$$=\lim_{h\to0}\frac{x^2\left[\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)+\frac{2h}{x}\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)+o(h)\right]}{h}$$
Qui inizia la parte un po' esotica che mi limiterò dallo scrivere in formule: in buona sostanza puoi ora spezzare il limite nella somma di due limiti, uno composto dalla "quantità centrale" delle tre quantità al numeratore e l'altro composto "dalla prima e dalla terza" quantità al numeratore.
Il pezzo centrale, quello con $\frac{2h}{x}\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)$ per intenderci, è tranquillo; tende a $2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$.
Per quanto riguarda l'altro limite
$$\lim_{h\to0}\frac{x^2}{h}\left[\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]$$
Puoi usare le noiosissime formule di prostaferesi (o Werner, non mi ricordo mai chi dei due sia), ossia
$$\sin\phi-\sin\psi=2\cos\left(\frac{\phi+\psi}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi-\psi}{2}\right)$$
E dovrai infine solo trattare quel seno rimanente nel prodotto della formula di prostaferesi (o Werner) con il limite notevole classico del seno.
Alla fine arriverai alla tanto agognata espressione finale
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2\sin\left(\frac{1}{(x+h)^2}\right)-x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{h}=2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{2\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x}$$
Probabilmente si può fare anche senza le inusuali formule trigonometriche, ma non sapendo il tuo grado di conoscenza ho preferito mantenermi sul limite notevole $\left(1+\gamma(h)\right)^\alpha$ ed evitare De L'Hôpital perché penso sia molto più istruttivo imparare a fare così i limiti.
Grazie mille!Gentilissimo e chiarissimo! 
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