Dubbio su asintoti
Volevo sapere, data $f(x)=\frac{3x^{4}+5}{2x}$ se è corretto scrivere:
1) La funzione non ha asintoti nè orizzontali, nè obbliqui essendo il numeratore un infinito di ordine superiore di 1 il denominatore per $x\to +\infty$
2) La funzione ammette asintoto verticale in $x=0$ e si ha che
$\lim_{x\to 0^+} \frac{3x^{4}+5}{2x}=+\infty$
$\lim_{x\to 0^-} \frac{3x^{4}+5}{2x}=-\infty$
in particolare sono dubbioso riguardo questi ultimi due limiti.
1) La funzione non ha asintoti nè orizzontali, nè obbliqui essendo il numeratore un infinito di ordine superiore di 1 il denominatore per $x\to +\infty$
2) La funzione ammette asintoto verticale in $x=0$ e si ha che
$\lim_{x\to 0^+} \frac{3x^{4}+5}{2x}=+\infty$
$\lim_{x\to 0^-} \frac{3x^{4}+5}{2x}=-\infty$
in particolare sono dubbioso riguardo questi ultimi due limiti.
Risposte
è tutto giusto.
E se la funzione fosse stata $f(x)=\frac{3x^{4}+5}{x-5}$
$\lim_{x\to 5^+} \frac{3x^{4}+5}{x-5}=+\infty$
$\lim_{x\to 5^-} \frac{3x^{4}+5}{x-5}=+\infty$
Commetto errori? In particolare il mio dubbio consiste nel risolvere i limiti dalla destra e dalla sinistra quando $x_0\ne 0$ dove $x_0$ è appunto l'ascissa nella quale riscontro l'asintoto.
$\lim_{x\to 5^+} \frac{3x^{4}+5}{x-5}=+\infty$
$\lim_{x\to 5^-} \frac{3x^{4}+5}{x-5}=+\infty$
Commetto errori? In particolare il mio dubbio consiste nel risolvere i limiti dalla destra e dalla sinistra quando $x_0\ne 0$ dove $x_0$ è appunto l'ascissa nella quale riscontro l'asintoto.
Il primo limite è corretto ma il secondo no.
Quando $x rarr 5 $ il numeratore tende a un numero positivo diverso da zero $(3*5^4+5)$.
Il denominatore invece tende a $0 $ e più precisamente :
se $x rarr 5^(+)$allora il denominatore tende a $0^(+) $ e quindi la funzione a $+oo$
se $ x rarr 5^(-) $ il denom. tende a $0^(-) $ e la funzione a $-oo$.
Quando $x rarr 5 $ il numeratore tende a un numero positivo diverso da zero $(3*5^4+5)$.
Il denominatore invece tende a $0 $ e più precisamente :
se $x rarr 5^(+)$allora il denominatore tende a $0^(+) $ e quindi la funzione a $+oo$
se $ x rarr 5^(-) $ il denom. tende a $0^(-) $ e la funzione a $-oo$.
Allora a parte le funzioni trigonometriche, quale potrebbe essere un esempio di funzione il cui limite calcolato dalla sinistra è pari a $+\infty$ ?
Ad esempio $lim_(x rarr 5 ) (3x^4+5)/(x-5)^2 $ vale $+oo$ per $ x rarr 5^(+-)$.
Che c'entrano le funzioni trigonometriche, cosa volevi dire esattamente ?
Che c'entrano le funzioni trigonometriche, cosa volevi dire esattamente ?
Nulla, semplicemente che per esempio $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-} \tan x=+\infty$ ossia che $\tan x$ è un esempio di funzione che diverge positivamente per $x\to x_0^-$ e volevo sapere quali altre funzioni hanno lo stesso comportamento. Tutto qua
la risposta alla tua domanda è che ci sono tante funzioni che si comportano in un modo, quante ce ne sono che si comportano nell'altro.
ovvero:
per ogni funzione $f$ tale che $lim_(x to x_0^-)f(x)=+infty$
si ha che esiste una funzione $g$ tale che $lim_(x to x_0^-)g(x)=-infty$
e viceversa.
riesci ad immaginarti come si trova tale $g$ ?
ovvero:
per ogni funzione $f$ tale che $lim_(x to x_0^-)f(x)=+infty$
si ha che esiste una funzione $g$ tale che $lim_(x to x_0^-)g(x)=-infty$
e viceversa.
riesci ad immaginarti come si trova tale $g$ ?
Si in effetti tutto cambia a seconda dei casi. Volevo chiedere un favore:
Siccome non so usare lo script per disegnare i grafici delle funzioni, se posto qui una funzione in cui bisogna ricercare gli asintoti ed il procedimento che ho eseguito e quindi i risultati, potrei anche allegare l'immagine della bozza del grafico?
Mi servirebbe per sapere se i ragionamenti sono corretti.
Siccome non so usare lo script per disegnare i grafici delle funzioni, se posto qui una funzione in cui bisogna ricercare gli asintoti ed il procedimento che ho eseguito e quindi i risultati, potrei anche allegare l'immagine della bozza del grafico?
Mi servirebbe per sapere se i ragionamenti sono corretti.
Ok fai come dici .
Cerca di tenere l'immagine di dimensioni contenute, però! 
Del tipo, non mettere 10 Mb di roba a 3000 dpi e colore in altissima definizione. Altrimenti rendi il topic ingestibile.
Del tipo, non mettere 10 Mb di roba a 3000 dpi e colore in altissima definizione. Altrimenti rendi il topic ingestibile.
Ok. Grazie e scusate il ritardo. La funzione è la seguente:
[tex]f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x^2} & x < 0\\
0 & x = 0\\\frac{x^{2}+2x-1}{x} & x > 0\end{cases}[/tex]
con riferimento ai soli asintoti il grafico mi è venuto così:
[tex]f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x^2} & x < 0\\
0 & x = 0\\\frac{x^{2}+2x-1}{x} & x > 0\end{cases}[/tex]
con riferimento ai soli asintoti il grafico mi è venuto così:
Ok quindi sommarizzando
Asintoto obliquo di equazione $ y=x+2$ per $ x rarr +oo$
Asintoto orizzontale di equazione $y=0 $ per $ x rarr -oo$
Asintoto verticale di equazione $x=0 $ per $ x rarr 0 $ .
Asintoto obliquo di equazione $ y=x+2$ per $ x rarr +oo$
Asintoto orizzontale di equazione $y=0 $ per $ x rarr -oo$
Asintoto verticale di equazione $x=0 $ per $ x rarr 0 $ .
Si
Nel grafico della funzione non dimenticare l'origine che appartiene alla funzione. .
Cioè dovrei disegnare un punto nell'origine?
Certamente perchè la funzione in $x=0 $ vale $ 0 $ così sta scritto nella definizione della funzione $f(x)$
ok, grazie
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