Dubbio studio di funzione analisi 2
Devo determinare massimo e minimo di $f(x,y,z)=x+z-2y$ nel dominio $D={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+z^2\ley\le1}$.
D è compatto quindi certamente massimo e minimo esistono.
Il gradiente di f è sempre diverso da zero, dunque i punti di massimo minimo si trovano sul bordo.
Il bordo è fatto da due pezzi:
$\partialD_1={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:y=1,x^2+z^2\le1}$
da cui otteniamo la funzione $\phi(x,z)=f(x,1,z)=z+x-2$. Osservo che gradiente phi è sempre diverso da zero quindi utilizzando i moltiplicatori di lagrange con il vincolo $g(x,z)=x^2+z^2-1$ trovo i due punti $(\pm\sqrt(2)/2,\pm\sqrt2/2)$ da cui i punti di R^3: $(\pm\sqrt2/2,1,\pm\sqrt(2)/2)$.
$\partialD_2={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:y=x^2+z^2,x^2+z^2\le1}$, da cui si ha la funzione $\psi(x,z)=-2x^2-2z^2+x+z$.
Andando a calcolare il gradiente di psi trovo il punto $(1/4,1/4)\in\partialD_2$, da cui il corrispondente punto $(1/4,1/8,1/4)$.
Riutilizzando i moltiplicatori di lagrange come sopra ottengo gli stessi punti di prima.
Valutando la funzione f nei vari punti trovati ho che il punto $(1/4,1/8,1/4)$ è di massimo, mentre il punto $(-sqrt2/2,1,-sqrt2/2)$ è di minimo.
Va bene come risoluzione o ho saltato qualcosa?
D è compatto quindi certamente massimo e minimo esistono.
Il gradiente di f è sempre diverso da zero, dunque i punti di massimo minimo si trovano sul bordo.
Il bordo è fatto da due pezzi:
$\partialD_1={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:y=1,x^2+z^2\le1}$
da cui otteniamo la funzione $\phi(x,z)=f(x,1,z)=z+x-2$. Osservo che gradiente phi è sempre diverso da zero quindi utilizzando i moltiplicatori di lagrange con il vincolo $g(x,z)=x^2+z^2-1$ trovo i due punti $(\pm\sqrt(2)/2,\pm\sqrt2/2)$ da cui i punti di R^3: $(\pm\sqrt2/2,1,\pm\sqrt(2)/2)$.
$\partialD_2={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:y=x^2+z^2,x^2+z^2\le1}$, da cui si ha la funzione $\psi(x,z)=-2x^2-2z^2+x+z$.
Andando a calcolare il gradiente di psi trovo il punto $(1/4,1/4)\in\partialD_2$, da cui il corrispondente punto $(1/4,1/8,1/4)$.
Riutilizzando i moltiplicatori di lagrange come sopra ottengo gli stessi punti di prima.
Valutando la funzione f nei vari punti trovati ho che il punto $(1/4,1/8,1/4)$ è di massimo, mentre il punto $(-sqrt2/2,1,-sqrt2/2)$ è di minimo.
Va bene come risoluzione o ho saltato qualcosa?
Risposte
Mi pare giusto.
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