Dubbio sostituzione - integrale
Ciao a tutti,
dato l' integrale
$int_(pi/3)^(5/3pi) cost/(4sqrt(2))(1+sen^2t)^(1/2)dt$
sostituendo $x=sen^2t$
gli estremi diventano $[3/2, 3/2]$ e l integrale:
$int_(3/2)^(3/2) f(x) dx=0$
mentre il vero risultato dell integrale è: $-0,34$
perchè non vale il metodo della sostituzione?
dato l' integrale
$int_(pi/3)^(5/3pi) cost/(4sqrt(2))(1+sen^2t)^(1/2)dt$
sostituendo $x=sen^2t$
gli estremi diventano $[3/2, 3/2]$ e l integrale:
$int_(3/2)^(3/2) f(x) dx=0$
mentre il vero risultato dell integrale è: $-0,34$
perchè non vale il metodo della sostituzione?
Risposte
Il cambio di variabile deve essere invertibile! Ricorda che le funzioni trigonometriche non sono invertibili ovunque. Quand'è così prima riduci l'intervallo di integrazione sfruttando la periodicità (o anche argomenti di parità/disparità) e dopo applichi il cambio di variabile. Prova a riscrivere quell'integrale come due volte l'integrale da \( \displaystyle \pi/3 \) a \( \displaystyle \pi\) e vedi che succede (:
grazie per la risposta, ho fatto questa domanda perchè ho un esercizio svolto che dice:
$int_(pi/3)^(5/3pi) cost/(4sqrt(2))(1+sen^2t)^(1/2)dt + 1/2 int_(pi/3)^(5/3pi) (2costsent)/(4sqrt(2))(1+sen^2t)^(1/2)dt$
nel secondo membro il libro utilizza la sostituzione che ho scritto sopra, mentre nel primo no. Non riesco a capire perche nel secondo membro si, nel primo no. Qual è la differenza?
$int_(pi/3)^(5/3pi) cost/(4sqrt(2))(1+sen^2t)^(1/2)dt + 1/2 int_(pi/3)^(5/3pi) (2costsent)/(4sqrt(2))(1+sen^2t)^(1/2)dt$
nel secondo membro il libro utilizza la sostituzione che ho scritto sopra, mentre nel primo no. Non riesco a capire perche nel secondo membro si, nel primo no. Qual è la differenza?
Nel primo la sostituzione più logica è $x=sint$ poiché $dx=costdt$ mentre nel secondo lo è $x=sin^2t$ perché $dx=2sintcost dt$ 
ma non posso sostuire appositamente $sen^2t$ nel primo per far si che gli estremi mandino a zero l integrale?
"eos.s":
ma non posso sostuire appositamente $sen^2t$ nel primo per far si che gli estremi mandino a zero l integrale?
A cosa ti serve sostituire $x=sin^2(t)$?
Il differenziale diventa $dx=2sin(x)cos(x)$ che ti complica solo la vita.
L'obiettivo è utilizzare quel $cos(x)$ e farlo sparire nella sostituzione.
Come ti è gia stato detto,
"Oznerol.92":
Il cambio di variabile deve essere invertibile!
grazie ancora per la vostra pazienza, ma appunto non riesco a capire perchè nel secondo integrale il cambio di variabile è invertibile e nel primo no.
"eos.s":
grazie per la risposta, ho fatto questa domanda perchè ho un esercizio svolto che dice:
$int_(pi/3)^(5/3pi) cost/(4sqrt(2))(1+sen^2t)^(1/2)dt + 1/2 int_(pi/3)^(5/3pi) (2costsent)/(4sqrt(2))(1+sen^2t)^(1/2)dt$
nel secondo membro il libro utilizza la sostituzione che ho scritto sopra, mentre nel primo no. Non riesco a capire perche nel secondo membro si, nel primo no. Qual è la differenza?
Questa è una buona domanda. Il libro dice che il secondo integrale è nullo usando quel cambio di variabile?
Esatto
"eos.s":
Esatto
Ma esattamente cosa dice? Perché la questione è un po' sottile. Per essere valida la formula del cambiamento di variabile, uno deve fare cambiamenti di variabile invertibili, tuttavia in certi casi (come questo, però solo per il secondo integrale) cambiamenti non invertibili portano a risultati corretti.
Ma è importante sapere cosa dice il libro.
E' la risoluzione di una prova di esame del mio prof
Esercizio numero 1: https://dipmat.univpm.it/~franca/didatt ... Egiu14.pdf
Esercizio numero 1: https://dipmat.univpm.it/~franca/didatt ... Egiu14.pdf
Ho capito il tuo problema è penso di averlo capito.
Se fai la sostituzione nell'intervallo dato, la funzione non risulta invertibile. Te lo hanno già detto, ma non ti hanno detto, secondo me, cosa potresti fare. Io spezzerei l'integrale in una somma di integrali, dove la sostituzione sarebbe invertibile.
Ovvero se l'intervallo è $[pi/3,(5pi)/3]$, essendo la funzione $sin^2(x)$ periodica di $pi/2$, lo spezzerei in questi intervalli(la scrivo come somma, ma intendo la somma degli integrali in quegli intervalli).
$[pi/3,pi/2]+[pi/2,pi]+[pi,(3pi)/2]+[(3pi)/2,(5pi)/2]$
In questi $3$ intervalli la funzione che ti interessa è invertibile.
Il problema è che assumeva lo stesso valore negli estremi, quindi io lo spezzerei.
Fammi sapere.
Se fai la sostituzione nell'intervallo dato, la funzione non risulta invertibile. Te lo hanno già detto, ma non ti hanno detto, secondo me, cosa potresti fare. Io spezzerei l'integrale in una somma di integrali, dove la sostituzione sarebbe invertibile.
Ovvero se l'intervallo è $[pi/3,(5pi)/3]$, essendo la funzione $sin^2(x)$ periodica di $pi/2$, lo spezzerei in questi intervalli(la scrivo come somma, ma intendo la somma degli integrali in quegli intervalli).
$[pi/3,pi/2]+[pi/2,pi]+[pi,(3pi)/2]+[(3pi)/2,(5pi)/2]$
In questi $3$ intervalli la funzione che ti interessa è invertibile.
Il problema è che assumeva lo stesso valore negli estremi, quindi io lo spezzerei.
Fammi sapere.
@anto_zoolander l integrale l ho risolto utilizzando la sostituzione $x=sent$
si otteneva: $1/(4sqrt(2))int_(sqrt(3)/2)^(-sqrt(3)/2) sqrt(x^2+1)$ risolvibile con la scomposizione di eulero.
il mio dubbio era sul fatto che, nel secondo membro è lecito utilizzare la sostituzione $x=sen^2t$ mentre nel primo no.
Quindi la risposta è che nel primo membro si viene a creare, dopo la sostituzione, una $f(x)$ non invertibile?
si otteneva: $1/(4sqrt(2))int_(sqrt(3)/2)^(-sqrt(3)/2) sqrt(x^2+1)$ risolvibile con la scomposizione di eulero.
il mio dubbio era sul fatto che, nel secondo membro è lecito utilizzare la sostituzione $x=sen^2t$ mentre nel primo no.
Quindi la risposta è che nel primo membro si viene a creare, dopo la sostituzione, una $f(x)$ non invertibile?
Si, tecnicamente è la migliore strada da seguire, quella. Ma parliamo ora della sostituzione:
$u=sin^2(x)$
Mi spiego.
Intanto secondo me quell'esercizio è spiegato un po' male. Magari sono io che sbaglio a commentare ogni passaggio, però vbb.
Allora.. prendiamo intanto l'integrale
$int_(pi/3)^((5pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx$
dove sta' il problema della sostituzione? la funzione $u=sin^2(x)$ assume lo stesso valore in quei due punti, ma in realtà stiamo considerando una sostituzione lecita. Il problema che ti hanno posto sull'invertibilità, discende da questa cosa.
perchè ti viene chiesto che sia invertibile? proprio per ovviare a questi problemi. $u=sin^2(x)$ DEVE essere una biiezione su un certo intervallo, perché sennò si va incontro a questi problemi. Se in un certo intervallo, la funzione assume due stessi valori, si va incontro a due problemi:
primo: una volta calcolato l'integrale usando $u=f(x)$ non puoi tornare a $x=f^(-1)(u)$
secondo: supponiamo che $u=f(x)$ non sia iniettiva, allora esiste almeno un intervallo $XsubseteqRR$ nel quale esistono $alpha,betainX$ tale $f(alpha)=f(beta)$ e se calcoli l'integrale in da $f(alpha)$ a $f(beta)$ quanto farà mai? 0. Perché è come stessi calcolando la funzione in uno stesso punto.
Tra l'altro è una questione interessante che intendo approfondire. Comunque per rendere tutto corretto, dobbiamo spezzare gli integrali o trovare qualche simmetria. Ad esempio puoi notare questo:
La funzione è pari e periodica di periodo $2pi$ dunque $2pi$ è anch'esso un punto di simmetria. Ma se considero ad esempio il punto $pi$ è anch'esso punto di simmetria. Considerando l'intervallo di integrazione, posso riscriverlo come:
$I(pi)=[pi-(2pi)/3,pi+(2pi)/3]=[pi/3,(3pi)/2]cup[(3pi)/2,(5pi)/3]$
La funzione è dunque simmetrica in questo intervallo, rispetto al centro $pi$
$int_(pi/3)^((5pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx=2int_(pi)^((5pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx$
In questo intervallo $u=sin^2(x)$ è iniettiva infatti,periodica di periodo $pi$, e iniettiva sul semiperiodo $pi/2$
sicuramente è iniettiva su $[pi,(3pi)/2]$ e su $[(3pi)/2,(5pi)/3]$
$2[int_(pi)^((3pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx+int_((3pi)/2)^((5pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx]$
se vai a praticare adesso quella sostituzione, il risultato ti tornerà.
In particolare dopo tutte le sostituzioni e i vari passaggi, ottieni questo integrale:
$-1/(4sqrt2)[int_(0)^(1)sqrt(1+t)/sqrttdt-int_(3/4)^(1)sqrt(1+t)/sqrttdt]=-1/(4sqrt2)int_(0)^(3/4)sqrt(1+t)/sqrttdt$
ottenuto con la sostituzione $t=sin^2x$ nei due intervalli sopracitati.
Spero di esserti stato d'aiuto.
$u=sin^2(x)$
Mi spiego.
Intanto secondo me quell'esercizio è spiegato un po' male. Magari sono io che sbaglio a commentare ogni passaggio, però vbb.
Allora.. prendiamo intanto l'integrale
$int_(pi/3)^((5pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx$
dove sta' il problema della sostituzione? la funzione $u=sin^2(x)$ assume lo stesso valore in quei due punti, ma in realtà stiamo considerando una sostituzione lecita. Il problema che ti hanno posto sull'invertibilità, discende da questa cosa.
perchè ti viene chiesto che sia invertibile? proprio per ovviare a questi problemi. $u=sin^2(x)$ DEVE essere una biiezione su un certo intervallo, perché sennò si va incontro a questi problemi. Se in un certo intervallo, la funzione assume due stessi valori, si va incontro a due problemi:
primo: una volta calcolato l'integrale usando $u=f(x)$ non puoi tornare a $x=f^(-1)(u)$
secondo: supponiamo che $u=f(x)$ non sia iniettiva, allora esiste almeno un intervallo $XsubseteqRR$ nel quale esistono $alpha,betainX$ tale $f(alpha)=f(beta)$ e se calcoli l'integrale in da $f(alpha)$ a $f(beta)$ quanto farà mai? 0. Perché è come stessi calcolando la funzione in uno stesso punto.
Tra l'altro è una questione interessante che intendo approfondire. Comunque per rendere tutto corretto, dobbiamo spezzare gli integrali o trovare qualche simmetria. Ad esempio puoi notare questo:
La funzione è pari e periodica di periodo $2pi$ dunque $2pi$ è anch'esso un punto di simmetria. Ma se considero ad esempio il punto $pi$ è anch'esso punto di simmetria. Considerando l'intervallo di integrazione, posso riscriverlo come:
$I(pi)=[pi-(2pi)/3,pi+(2pi)/3]=[pi/3,(3pi)/2]cup[(3pi)/2,(5pi)/3]$
La funzione è dunque simmetrica in questo intervallo, rispetto al centro $pi$
$int_(pi/3)^((5pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx=2int_(pi)^((5pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx$
In questo intervallo $u=sin^2(x)$ è iniettiva infatti,periodica di periodo $pi$, e iniettiva sul semiperiodo $pi/2$
sicuramente è iniettiva su $[pi,(3pi)/2]$ e su $[(3pi)/2,(5pi)/3]$
$2[int_(pi)^((3pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx+int_((3pi)/2)^((5pi)/3)(cos(x)sqrt(1+sin^2(x)))/(4sqrt2)dx]$
se vai a praticare adesso quella sostituzione, il risultato ti tornerà.
In particolare dopo tutte le sostituzioni e i vari passaggi, ottieni questo integrale:
$-1/(4sqrt2)[int_(0)^(1)sqrt(1+t)/sqrttdt-int_(3/4)^(1)sqrt(1+t)/sqrttdt]=-1/(4sqrt2)int_(0)^(3/4)sqrt(1+t)/sqrttdt$
ottenuto con la sostituzione $t=sin^2x$ nei due intervalli sopracitati.
Spero di esserti stato d'aiuto.
grazie mille per la spiegazione 
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