Dubbio simboli landau

[mohcen98]

Ciao ragazzi.
la mia domanda è: esiste una successione che soddisfi queste 2 condizioni:
$ a_n~sqrt(n) $ e $ a_n-sqrt(n)~n $.
Secondo me non esiste nessuna successione ma non ne sono sicuro.
Ve ne sarei molto grato se riusciste a farmi capire questa cosa grazie mille.

[gugo82]

Immagino che \(\sim\) denoti il fatto che il limite del rapporto tra primo e secondo membro della relazione sia uguale ad $1$... In tal caso, devi soddisfare:
\[
\begin{split}
\lim \frac{a_n}{\sqrt{n}} &= 1\\
\lim \frac{a_n-\sqrt{n}}{n} &= 1
\end{split}
\]
ti sembrano compatibili tali condizioni?

[mohcen98]

esatto. il rapporto deve fare 1 ma secondo me non esiste nessuna successione che soddisfi tali condizioni. Corretto o sto sbagliando?

[gugo82]

Spiega perché, altrimenti che senso ha?
La correttezza di una risposta si misura anche dalla sua motivazione.

[mohcen98]

Ho capito. Quindi non esiste dato che il rapporto deve fare 1 e non esiste nessuna successione che soddisfi tali requisiti.
Grazie

[gugo82]

Non so se te ne rendi conto, ma non hai spiegato un bel nulla o, nella migliore delle ipotesi, hai detto che è così perché è così...

[mohcen98]

Il modo migliore in questo caso per spiegarlo secondo me è fare degli esempi dimostrando che il limite del rapporto non tende a uno visto che la regola dell'asintotico dice che il limite del rapporto deve tendere a 1.
Io farei così poi se mi manca qualcosa o sto sbagliando nel spiegarla sono felicissimo di capire dove sbaglio e come potrei migliorare la mia risposta

[gugo82]

"Therealmoss":Il modo migliore in questo caso per spiegarlo secondo me è fare degli esempi dimostrando che il limite del rapporto non tende a uno visto che la regola dell'asintotico dice che il limite del rapporto deve tendere a 1.
Io farei così poi se mi manca qualcosa o sto sbagliando nel spiegarla sono felicissimo di capire dove sbaglio e come potrei migliorare la mia risposta

Hai trovato un controesempio il quale mostra che, in generale, le cose non possono andare insieme; in altre parole hai provato che esiste una successione $(a_n)$ che non soddisfa le condizioni... Tuttavia, il problema che avevi posto era diverso: tu volevi sapere se esiste qualche successione $(a_n)$ che soddisfa entrambe le condizioni. Ed ovviamente la tua risposta non è una risposta a questa questione.

[mohcen98]

Mi sto incasinando le idee. Non capisco cosa sto sbagliando, come rispondere alla domanda, e a questo punto anche cosa rispondere.

[gugo82]

Riassumiamo... Hai fatto una domanda precisa:

"Esiste una successione tale che soddisfi entrambe queste due proprietà?".

Poi hai fornito una risposta precisa:

"No, perché ho trovato solo successioni che non soddisfano entrambe le proprietà"

la quale, però, non risponde affatto alla domanda iniziale.

Se non riesci a capire perché, medita su questo scambio di battute (che esemplifica la situazione):

Domanda: "Esiste un gatto nero con gli occhi verdi?"
Risposta: "No, perché ne ho trovati solo alcuni tigrati o con gli occhi azzurri."

Riesci a capire che c'è qualcosa che non va?

[mohcen98]

Ho capito cosa intendi.
Ma quello che non capisco è come dovrei rispondere per dimostrare la mia risposta.
Ho capito che bisogna sempre giustificare la risposta dimostrando il perchè e non dire che è così perchè è così, e che dimostrando la non la non validità con un solo esempio non implica la che quello che c'è da dimostrare è falso.
Il mio dubbio rimane solo quello di dimostrare quello che ho affermato.
Grazie mille in anticipo molto gentile

[gugo82]

Prova... Hai sotto mano due proprietà che coinvolgono limiti. Come le puoi manipolare per provare la tua congettura (ossia che le proprietà sono incompatibili)?