Dubbio serie geometrica
Ho un dubbio riguardante la serie geometrica, perchè sulle slide/appunti ho due formule diverse.
Ovvero, da una parte ho scritto, indicando con $S_n$ le somme parziali della serie al termine n-esimo:
$S_n = n+1$ per $q=1$
$S_n = (1-q^(n+1))/(1-q)$ per $q!=1$
Mentre l'altra formula che o dice che per $q>=q$ diverge positivamente;
Per $q in (-1,1)$ la formula è $\sum_{n=0}^oo q^n = 1/(1-q)$
Come mai queste due definizioni differenti? in cosa ho frainteso?
Ovvero, da una parte ho scritto, indicando con $S_n$ le somme parziali della serie al termine n-esimo:
$S_n = n+1$ per $q=1$
$S_n = (1-q^(n+1))/(1-q)$ per $q!=1$
Mentre l'altra formula che o dice che per $q>=q$ diverge positivamente;
Per $q in (-1,1)$ la formula è $\sum_{n=0}^oo q^n = 1/(1-q)$
Come mai queste due definizioni differenti? in cosa ho frainteso?
Risposte
La risposta sta nella successione $S_n$ quando $q> 1$ infatti a numeratore avresti un infinito
Non riesco a capire cosa intendi.
Nella seconda formula dice che se $q in (-1,1)$ il limite è $1/1-q$ mentre nella prima mi da quella formula per $q != 1$
Ma noi sappiamo che la serie converge solo per $q in (-1,1)$ quindi dire $q != 1$ non implica riferirsi proprio a quell'intervallo? ed allora perchè due formule diverse?
Nella seconda formula dice che se $q in (-1,1)$ il limite è $1/1-q$ mentre nella prima mi da quella formula per $q != 1$
Ma noi sappiamo che la serie converge solo per $q in (-1,1)$ quindi dire $q != 1$ non implica riferirsi proprio a quell'intervallo? ed allora perchè due formule diverse?
Ho risposto parecchie volte a una domanda simile. 
Prendiamo la seguente serie geometrica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} t^n$[/tex]
Essa è una serie di ragione [tex]$t$[/tex].
- converge a [tex]$\frac{1}{1-t}[/tex] se [tex]|t|<1$[/tex]
- diverge se [tex]$t>1$[/tex]
- è indeterminata se [tex]$t \le -1$[/tex]
Dimostriamolo:
Consideriamo la somma parziale n-esima (cioè la somma dei primi [tex]$n$[/tex] termini), chiamiamola [tex]$s_n$[/tex]:
[tex]$\forall n \in N: s_n = \sum_{k=0}^{n} t^k = 1+t+t^2+...+t^n$[/tex]
moltiplico primo e secondo membro per [tex]$t$[/tex]:
[tex]$t \cdot s_n = t+t^2+t^3...+t^{n+1}$[/tex]
Quindi, sottraiamo, membro a membro le due espressioni ottenute, cioè (prima le riscrivo):
[tex]$s_n = 1+t+t^2+...+t^n$[/tex]
[tex]$t \cdot s_n = t+t^2+t^3...+t^{n+1}$[/tex]
___________________________________
[tex]$(1-t)s_n= 1-t^{n+1}$[/tex]
Quindi con [tex]$1-t \not= 0$[/tex]; cioè [tex]$t \not=1$[/tex], trovo che:
[tex]$s_n = \frac{1-t^{n+1}}{1-t}$[/tex]
[Se [tex]$ t=1 \Rightarrow \sum_{0}^{+\infty} 1^n = +\infty$[/tex]]
Ora, per studiare il carattere della serie geometrica, devo studiare il limite della somma parziale: cioè:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1-t^{n+1}}{1-t}$[/tex]
Mi accorgo che il termine, da cui dipende tutto il limite è proprio [tex]$ t^{n+1}$[/tex]; me lo studio a parte:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} t^{n+1} = \begin{cases}0 & |t|<1\\
\infty & t>1\\\not\exists & q \le -1 \end{cases}$[/tex]
Quindi ritornando al limite di partenza e sostituendo i valori ottenuti concludiamo che:
[tex]$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1-t^{n+1}}{1-t} = \begin{cases}\frac{1}{1-t} & |t|<1\\
\infty & t>1\\\not\exists & t \le -1 \end{cases}$[/tex]
Quindi la serie di partenza:
converge a [tex]$\frac{1}{1-t}[/tex] se [tex]|t|<1$[/tex]
diverge se [tex]$t>1$[/tex]
è indeterminata se [tex]$t \le -1$[/tex]..
Prendiamo la seguente serie geometrica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} t^n$[/tex]
Essa è una serie di ragione [tex]$t$[/tex].
- converge a [tex]$\frac{1}{1-t}[/tex] se [tex]|t|<1$[/tex]
- diverge se [tex]$t>1$[/tex]
- è indeterminata se [tex]$t \le -1$[/tex]
Dimostriamolo:
Consideriamo la somma parziale n-esima (cioè la somma dei primi [tex]$n$[/tex] termini), chiamiamola [tex]$s_n$[/tex]:
[tex]$\forall n \in N: s_n = \sum_{k=0}^{n} t^k = 1+t+t^2+...+t^n$[/tex]
moltiplico primo e secondo membro per [tex]$t$[/tex]:
[tex]$t \cdot s_n = t+t^2+t^3...+t^{n+1}$[/tex]
Quindi, sottraiamo, membro a membro le due espressioni ottenute, cioè (prima le riscrivo):
[tex]$s_n = 1+t+t^2+...+t^n$[/tex]
[tex]$t \cdot s_n = t+t^2+t^3...+t^{n+1}$[/tex]
___________________________________
[tex]$(1-t)s_n= 1-t^{n+1}$[/tex]
Quindi con [tex]$1-t \not= 0$[/tex]; cioè [tex]$t \not=1$[/tex], trovo che:
[tex]$s_n = \frac{1-t^{n+1}}{1-t}$[/tex]
[Se [tex]$ t=1 \Rightarrow \sum_{0}^{+\infty} 1^n = +\infty$[/tex]]
Ora, per studiare il carattere della serie geometrica, devo studiare il limite della somma parziale: cioè:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1-t^{n+1}}{1-t}$[/tex]
Mi accorgo che il termine, da cui dipende tutto il limite è proprio [tex]$ t^{n+1}$[/tex]; me lo studio a parte:
[tex]$\lim_{n \to +\infty} t^{n+1} = \begin{cases}0 & |t|<1\\
\infty & t>1\\\not\exists & q \le -1 \end{cases}$[/tex]
Quindi ritornando al limite di partenza e sostituendo i valori ottenuti concludiamo che:
[tex]$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1-t^{n+1}}{1-t} = \begin{cases}\frac{1}{1-t} & |t|<1\\
\infty & t>1\\\not\exists & t \le -1 \end{cases}$[/tex]
Quindi la serie di partenza:
converge a [tex]$\frac{1}{1-t}[/tex] se [tex]|t|<1$[/tex]
diverge se [tex]$t>1$[/tex]
è indeterminata se [tex]$t \le -1$[/tex]..
Quindi detto in poche parole possiamo dire che il limite di $(1-t^(n+1))/(1-t)$ equivale a $1/(1-t)$ se $|t|<1$
perciò la formula che ho postato io sopra abbrevia semplicemente dicendo che, in caso $|t|<1$ allora il limite è $1/(1-t)$ altrimenti è indeterminato o diverge, giusto?
perciò la formula che ho postato io sopra abbrevia semplicemente dicendo che, in caso $|t|<1$ allora il limite è $1/(1-t)$ altrimenti è indeterminato o diverge, giusto?
"Neptune":
Quindi detto in poche parole possiamo dire che il limite di $(1-t^(n+1))/(1-t)$ equivale a $1/(1-t)$ se $|t|<1$
perciò la formula che ho postato io sopra abbrevia semplicemente dicendo che, in caso $|t|<1$ allora il limite è $1/(1-t)$ altrimenti è indeterminato o diverge, giusto?
It's ok!
Però tu per essere completo fino in fondo, enuncia tutti i [tex]$3$[/tex] casi possibili, non dire "altrimenti è indeterminata o diverge" (quando è indeterminata? quando diverge? è meglio specificarlo sempre!); inoltre osserva che è più giusto dire:
in caso $|t|<1$ allora il limite è [tex]$\frac{1} {1-t}$[/tex], cioé (diciamolo meglio) la serie geometrica converge a [tex]$\frac{1} {1-t}$[/tex].
Se [tex]$t>1$[/tex] : la serie geometrica diverge
Se [tex]$t \le -1$[/tex] la serie geometrica è indeterminata.
Cioè riferisciti alla serie e non al limite della somma parziale.
Vorrei approfittarne per fare anche una domanda più in generale sulle serie.
Quando parliamo di una serie ci riferiamo ai primi "n" termini di una successione, e la somma di questi termini ne definisce il limite?
Quindi nel calcolarci il limite di una serie proviamo a vedere se ne troviamo una "già" nota (serie geometrica o telescopica nel mio caso) e da li vediamo se diverge, o converge o non è definito?
Mentre la stima del resto per cosa ci torna utile?
Quando parliamo di una serie ci riferiamo ai primi "n" termini di una successione, e la somma di questi termini ne definisce il limite?
Quindi nel calcolarci il limite di una serie proviamo a vedere se ne troviamo una "già" nota (serie geometrica o telescopica nel mio caso) e da li vediamo se diverge, o converge o non è definito?
Mentre la stima del resto per cosa ci torna utile?
Beh... dipende. Nel caso $ sum_{i=1}^N a_n $ devi sommare i primi n termini, ma nel caso $ sum_{i=1}^{oo} a_n $ dovresti sommarli tutti! Naturalmente questo non è quasi mai possibile tranne per serie come quella geometrica, il cui comportamento della successione delle somme parziali viene dimostrato per induzione, e la cui dimostrazione della somma di infiniti termini ( come limite della suddetta successione delle somme parziali ) è stata splendidamente enunciata da Mathcrazy.
Anche per la serie telescopica sappiamo il comportamento dele somme parziali, giusto?
Mentre se non sappiamo dedurre il comportamente delle somme parziali ci riferiamo alla stima del resto?
Mentre se non sappiamo dedurre il comportamente delle somme parziali ci riferiamo alla stima del resto?
Cioè quello che voglio capire è ad esempio, nella serie armonica e serie armonica generalizzata ho una formula per calcolarmi la maggiorazione del resto, e ho visto un procedimento per far si hce mi calcoli un errore non maggiore di una certa cifra.
Ma nella serie geometrica e nella serie telescopica invece? ci calcoliamo la somma parziale senza errore e basta?
Insomma non riesco a capire perchè sulla serie armonica c'ho qualche esercizio riguardante la stima del resto mentre sulla serie geometrica non ho nulla.
Ma nella serie geometrica e nella serie telescopica invece? ci calcoliamo la somma parziale senza errore e basta?
Insomma non riesco a capire perchè sulla serie armonica c'ho qualche esercizio riguardante la stima del resto mentre sulla serie geometrica non ho nulla.
Ti sei risposto da solo. Della serie geometrica, delle serie telescopiche riesci a trovare facilmente una forma chiusa per le somme parziali, ed è quanto di meglio ti possa aspettare. Delle altre serie non hai la forma chiusa; la seconda cosa desiderabile è riuscire almeno a fornire delle buone stime, ed è per questo che ti fanno esercitare sull'argomento.
"dissonance":
Ti sei risposto da solo. Della serie geometrica, delle serie telescopiche riesci a trovare facilmente una forma chiusa per le somme parziali, ed è quanto di meglio ti possa aspettare. Delle altre serie non hai la forma chiusa; la seconda cosa desiderabile è riuscire almeno a fornire delle buone stime, ed è per questo che ti fanno esercitare sull'argomento.
Quindi per una serie telescopica ed una serie geometrica abbiamo già delle buone stime valutando direttamente la somma parziale, mentre con la serie armonica l'errore è più elevato e quindi entra gioco il resto, e tanto più prosegui con la somma dei termini e tanto più l'errore è minore?
Ma quindi in una serie geometrica con quel limite che ti forniscono riesci a calcolare con buona precisione già il limite all'infinito della serie?
Mentre con una serie armonica funziona come ho detto io prima che con il calcolo del resto riesci a calcolare quanti elementi della serie ti tocca prendere in considerazione per arrivare ad un errore vicino a quello desiderato?
Dato che non ho esercizi a riguardo, ne ho giusto uno/due con commenti quasi nulli, potreste riportarmi voi un piccolo esercizio commentato sul calcolo del resto in una serie armonica, in modo da calcolare la somma con un determinato grado di errore (tipo un 10^-3) ?
Praticamente esistono pochissime serie per cui si sa definire la somma parziale, tipo serie geometriche e telescopiche.
Se conosciamo la somma parziale possiamo facilmente determinare, in caso di convergenza, il valore preciso a cui la serie converge, semplicemente applicando la definizione (cioè calcolando il limite della somma parziale)
Ma se questa benedetta somma parziale non la sai trovare (stragrandissima maggioranza dei casi!!), bè allora puoi solo dannarti per cercare di dire se la serie converge,diverge o è indeterminata, mentre diventa molto più complesso stimare un possibile valore a cui la serie converge; e gli strumenti che si hanno a disposizione sono,in certi casi, parecchio più difficili da "maneggiare"; tanto che molto spesso vengono trattati approfonditamente in Analisi II e poi vengono ripresi in Analisi III.
Se conosciamo la somma parziale possiamo facilmente determinare, in caso di convergenza, il valore preciso a cui la serie converge, semplicemente applicando la definizione (cioè calcolando il limite della somma parziale)
Ma se questa benedetta somma parziale non la sai trovare (stragrandissima maggioranza dei casi!!), bè allora puoi solo dannarti per cercare di dire se la serie converge,diverge o è indeterminata, mentre diventa molto più complesso stimare un possibile valore a cui la serie converge; e gli strumenti che si hanno a disposizione sono,in certi casi, parecchio più difficili da "maneggiare"; tanto che molto spesso vengono trattati approfonditamente in Analisi II e poi vengono ripresi in Analisi III.
ma perchè per $q<-1$ il limite è indeterminato? come si calcola?
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