Dubbio serie di potenze (somma,ed insieme di convergenza)

[riccardo2468]

Salve a tutti ragazzi,
come da titolo ho un piccolo dubbio sulla risoluzione di tale esercizio, ho provato a farne uno spero che mi rispondiate nel dettaglio.
Determinare raggio ed insieme di convergenza

Trovare la somma della serie di potenze

per trovare la somma di una serie di potenze ( su quest'ultima avrei qualche dubbio)
Vi ringrazio in anticipo.

Riccardo

[theras]

Ciao,Riccardo,e benvenuto in questo forum!
Andando nello specifico del tuo quesito,
mi pare possa esserti utile osservare che la tua serie di potenze,posto $t=(x-1)/2$,
la puoi veder scritta nella forma $sum_(n=1)^(+oo)(t^(n-1))/n$:
se ciò nonostante non riuscissi a trovare la sua funzione somma,posta i tuoi ragionamenti che ne riparliamo..
Saluti dal web.

[riccardo2468]

Ciao Theras, non ho capito quello che mi vuoi dire, premesso che do per buono la risoluzione della prima parte, i veri dubbi sono nel trovare la somma. il procedimento che ho seguito è stato il seguente: derivate della serie fino all'ennesimo elemento k. La somma non dovrebbe essere la somma delle derivate sino alla derivata k-esima della serie? O quella è la ragione, e dunque dopo averla trovata faccio 1/1-x , ove x è appunto la ragione.

[theras]

Direi che a te sarebbe utile osservare come,
partendo dall'uguaglianza $sum_(n=2)^(+oo)z^(n-1)=z/(1-z)$(evincibile da quanto noto sulla somma d'una serie geometrica),
ponendoti in condizione di poter sfruttare il teorema d'integrazione per serie(a proposito...il come ed il perchè? )avrai
$sum_(n=2)^(+oo)int _(0)^(t)z^(n-1)dz=int_(0)^(t)z/(1-z)dzrArr1/t*sum_(n=1)^(+oo)int_(0)^(t) z^(n-1)dz=1/t*(t+sum_(n=2)^(+oo)int _(0)^(t)z^(n-1)dz)=$
$=1/t*(t+int_(0)^(t)z/(1-z)dt)rArrsum_(n=1)^(+oo)(t^(n-1))/n=cdots$:
te l'ho fatta breve,ma fà attenzione che i particolari da affrontare sono importanti..
Saluti dal web.