Dubbio serie di potenze

[denny101]

Ho la seguente serie:
$ sum_(n = 1\) ^(+oo ) (e^(n^(2)))*(1+1/n)^(-n^3)*x^n $ , ho calcolato il raggoio di convergenza della serie con il criterio della radice, e mi viene 1. Ma su wolfgram alpha esce $ e^(1/2) $ , mi spiegate il perché?

[21zuclo]

anche a me stava venendo 1, quando invece ho provato a sviluppare di più

tipo allora abbiamo questo limite..

$ lim_(n\to +\infty) [e^(n^2)\cdot (1+1/n)^(-n^3)]^(1/n) $

facciamo prima l'interno e poi l'esterno..



$ e^(n^2)\cdot (1+1/n)^(-n^3)=e^(n^2)(1)/((1+1/n)^(n^3)) $

ora solo quello che c'è a denominatore
$ \exp(n^3 \ln(1+1/n))=\exp(n^3(1/n-(1)/(2n^2)+o(1/n^2)))= $
$ =\exp(n^3(1/n-(1)/(2n^2)+o(1/n^2)))=\exp(n^2-n/2+o(1/n)) $

posso scriverli come prodotti $ \exp(n^2-n/2+o(n))=\exp(n^2)\cdot \exp(-n/2+o(n)) $

quindi abbiamo semplificando $e^(n^2)$ e riportiamo tutto a numeratore
$ [e^(n/2+o(n))]^(1/n)=e^(1/2+o(1))= e^(1/2) $ tutto questo per $n\to +\infty$

[denny101]

grz 21zuclo per la tua esauriente risp, non avevo proprio pensato di applicare gli sviluppi di taylor