Dubbio serie convergente

[fausto_1]

Scusate ma ho trovato sulle slides del prof di analisi che la seguente serie :

$sum_(k=1)^(+oo) 1/k $ NON converge.

Ma se faccio il limite
$lim_(k -> +oo ) 1/k$ , mi sembra che tenda a zero..giusto?

Quindi se di una serie il termine generale tende a zero la serie converge.

Il fatto strano è che per la seguente serie si dica invece che converge (e cio' è a mio parere più che corretto)
$sum_(k=1)^(+oo) 1/3^k $

Una serie è convergente se tende a zero , mentre è divergente se tende all'infinito.
Perchè allora $sum_(k=1)^(+oo) 1/k $ dovrebbe NON convergere????

Ringrazio sin d'ora coloro che mi aiuteranno a comprendere.

[dissonance]

Apri il libro e studia il primo paragrafo sulle serie. Ti assicuro che, qualsiasi libro tu adotti (se ne hai adottato uno), troverai la risposta a questa domanda.

[fausto_1]

D'accordo è una serie armonica e quindi sempre DIVERGE.
Ma comunque non capisco la dimostrazione che permetta di affermare cio'.

Il mio intento era quello di capire come fare a stabilire se una data serie converge oppure no.

Esempio:

$sum_(k=1)^(+oo)k/(k+2)$ NON converge.

In quanto : $ lim_(k ->+oo) k/(k+2) $ sarebbe pari ad una forma indeterminata del tipo (+oo) /(+oo)
Applico de L'Hopital ed ottengo : 1

Quindi il risultato è diverso da zero per cui posso affermare che la serie $sum_(k=1)^(+oo)k/(k+2)$ DIVERGE.

E' questo l'approccio corretto? Perchè nel caso della serie armonica non vale ?
Dove sbaglio??
Grazie

[gugo82]

"fausto_1":D'accordo è una serie armonica e quindi sempre DIVERGE.
Ma comunque non capisco la dimostrazione che permetta di affermare cio'.

Il mio intento era quello di capire come fare a stabilire se una data serie converge oppure no.

Esempio:

$sum_(k=1)^(+oo)k/(k+2)$ NON converge.

In quanto : $ lim_(k ->+oo) k/(k+2) $ sarebbe pari ad una forma indeterminata del tipo (+oo) /(+oo)
Applico de L'Hopital ed ottengo : 1

Primo errore.

La variabile non assume valori in un insieme continuo, quindi come fai a derivare?
Se proprio vuoi usare il teorema del marchese devi giustificare meglio.

"fausto_1":Quindi il risultato è diverso da zero per cui posso affermare che la serie $sum_(k=1)^(+oo)k/(k+2)$ DIVERGE.

Secondo errore.

Puoi affermare che la serie non converge (a meno che il tuo professore non usi il termine divergere nel modo anglosassone... Ma è un altro discorso).
Il fatto che essa diverga positivamente (ossia che [tex]\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k}{k+2} =+\infty[/tex]) è conseguenza di un altro teorema, ossia quello sulla regolarità delle serie positive.

"fausto_1":E' questo l'approccio corretto? Perchè nel caso della serie armonica non vale ?
Dove sbaglio??

Dove sbagli te l'ho detto.
Per quanto riguarda la correttezza, credo tu abbia capito che c'è un errore di fondo: confondi una condizione necesaria con una condizione sufficiente.

Per quanto riguarda la serie armonica, se tu credi che essa converga, ti faccio subito vedere che ciò non è possibile.

Diciamo che la somma:

[tex]$S=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$[/tex]

sia finita; possiamo scrivere:

[tex]$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}+\cdots$[/tex]

cosicché raggruppando i termini a due a due*, facendo un po' di conti e poi raggruppando in maniera diversa si ottiene:

[tex]$S=\left( 1+\frac{1}{2}\right)+ \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+ \left( \frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\cdots +\left( \frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}\right) +\cdots$[/tex]
[tex]$=\left( 1+\frac{1}{2}\right)+ \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{12}\right)+ \left( \frac{1}{3}+\frac{1}{30}\right)+\cdots +\left( \frac{1}{k}+\frac{1}{2k(2k-1)}\right) +\cdots$[/tex]
[tex]$=\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k} +\cdots \right)+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\cdots +\frac{1}{2k(2k-1)} +\cdots \right)$[/tex]
[tex]$=S+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\cdots +\frac{1}{2k(2k-1)} +\cdots \right)$[/tex];

dato che [tex]$\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\cdots +\frac{1}{2k(2k-1)} +\cdots >0$[/tex], dalla precedente catena d'uguaglianze segue che [tex]$S>S$[/tex], il che è una contraddizione.
Pertanto la serie armonica non può convergere.


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* Qui sta il vero trucco della dimostrazione. Il raggruppamento di termini non è lecito in generale (cioè per ogni serie), ma solo per le serie assolutamente convergenti; visto che la serie armonica ha termini positivi, se essa converge lo fa assolutamente e quindi il raggruppamento è lecito.

[Mathcrazy]

Comunque per dimostrare che [tex]$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} $[/tex] diverge, puoi procedere in questo modo:

Si ricava facilmente che [tex]$\sum_{k=0}^\infty \log\left(1+\frac{1}{k}\right)[/tex] diverge, infatti essa può essere ricondotta alla serie telescopica [tex]$\sum_{k=0}^\infty \log(k+1) - \log(k)$[/tex] di cui è facile verificarne la divergenza..

___

Ora, ti faccio osservare che [tex]$\forall k \ge1 : \frac{1}{k} \ge \log\left(1+ \frac{1}{k}\right)$[/tex]

Per capirlo, ti basta osservare che che [tex]$\forall x > -1 : \log (1+x) \le x$[/tex]: questo,volendo, lo puoi anche verificare tu stesso, graficamente:

[asvg]axes();
stroke="red";
plot(" log (1+x)");
stroke="green";
plot("x");[/asvg]

[tex]$y=x$[/tex] è proprio la tangente di [tex]$\log(1+x)$[/tex].

Quindi se [tex]$\forall x > -1 : \log (1+x) \le x$[/tex] sarà anche vero che [tex]$\forall k \ge1 : \frac{1}{k} \ge \log\left(1+ \frac{1}{k}\right)$[/tex]

Pertanto, poiché abbiamo precedentemente detto che la serie di termine generale [tex]\log\left(1+\frac{1}{k}\right)$[/tex] diverge, allora anche la serie di termine generale [tex]$\frac{1}{k}$[/tex] diverge, questo perché sulla base del criterio del confronto: dal momento che [tex]$\frac{1}{k} \ge \log\left(1+ \frac{1}{k}\right)$[/tex] [tex]$\Rightarrow$[/tex] la serie [tex]$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} $[/tex] diverge. chiaro?

Tanto per completezza: eccoti la rappresentazione della somma parziale man mano che infittiamo i termini (magari può aiutarti a capire):