Dubbio serie con logaritmo
La serie in questione va da 1 a più infinito:
$(1/(nlog(n+1)) )$ . E' corretto dire che questa serie è circa uguale a $(1/(nlog(n)))$ e poi dobbiamo studiare il comportamento di:
$(1/(nlog(n)))$
Ho scritto che $1/n * 1/nlogn <= 1/n$ perché $1/nlogn$ è una quantità minore 1 che moltiplicata per 1/n è sicuramente minore a sua volta di 1/n quindi va come 1/n e quindi diverge... Ho ragionato in modo corretto? Grazie a tutti
$(1/(nlog(n+1)) )$ . E' corretto dire che questa serie è circa uguale a $(1/(nlog(n)))$ e poi dobbiamo studiare il comportamento di:
$(1/(nlog(n)))$
Ho scritto che $1/n * 1/nlogn <= 1/n$ perché $1/nlogn$ è una quantità minore 1 che moltiplicata per 1/n è sicuramente minore a sua volta di 1/n quindi va come 1/n e quindi diverge... Ho ragionato in modo corretto? Grazie a tutti
Risposte
secondo me inizia a fare il limite della serie e vedi che ti uscirà zero quindi potrebbe convergere condizione necessaria ma non sufficiente.
poi fai il criterio del confronto asintotico e la tua serie verrà confrontata con ($1/n$)($1/n+1$) fai la moltiplicazione e usciranno due serie una 1/n^2 e l altra 1/n quindi non converge assolutamente quindi applichi leibiniz
con leibiniz devi dire solamente che an>an+1
quindi metodo pratico fai la derivata di an è semplicemente vedrai an è decrescente quindi la serie secondo leibiniz converge semplicemente
poi fai il criterio del confronto asintotico e la tua serie verrà confrontata con ($1/n$)($1/n+1$) fai la moltiplicazione e usciranno due serie una 1/n^2 e l altra 1/n quindi non converge assolutamente quindi applichi leibiniz
con leibiniz devi dire solamente che an>an+1
quindi metodo pratico fai la derivata di an è semplicemente vedrai an è decrescente quindi la serie secondo leibiniz converge semplicemente
Dunque, tu parti da $\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n*log(n + 1)}$. Se tu dici che studiare questa serie equivale a studiare la serie $\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{n*log n}$, devi darne qualche giustificazione. Comunque, mi pare che sia davvero così perché:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n*log(n + 1)}}{\frac{1}{n*log n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n*log n}{n*log(n + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{log n}{log(n + 1)} = 1$
Dunque si ha che $\frac{1}{n*log(n + 1)} ~_{+\infty} \frac{1}{n*log n}$, e poiché entrambe sono a termini definitivamente positivi per un teorema si ha che le due serie hanno davvero lo stesso carattere, e quindi studiare la convergenza dell'una equivale a studiare la convergenza dell'altra e viceversa. Però ci sono due cosette che non mi convincono in quello che dici dopo:
• Com'è che da $\frac{1}{n*log n}$ ti si è trasformato in $(1/n)*log n$... che poi sarebbe $\frac{log n}{n}$, che palesemente è diverso da quello che stavamo considerando?
• Sì, la serie armonica $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n$ diverge... ma il fatto che una serie abbia sempre i termini minori dei termini della serie armonica non ti dice nulla. Se fossero stati maggiori avresti detto che divergeva, ma visto che stavolta è una serie più piccola della serie armonica non puoi dire assolutamente nulla sul fatto che converga o no, almeno non in rapporto alla serie armonica. Dovresti studiare altre tecniche per capire se converge o no... e anzitutto, come dice marta, sarebbe bene fare il limite per $n \to \infty$ della successione che definisce la serie, e controlla se ti viene $0$: se sì, la serie potrebbe convergere come potrebbe divergere... ma se non viene $0$, allora sicuramente la serie non converge.
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n*log(n + 1)}}{\frac{1}{n*log n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n*log n}{n*log(n + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{log n}{log(n + 1)} = 1$
Dunque si ha che $\frac{1}{n*log(n + 1)} ~_{+\infty} \frac{1}{n*log n}$, e poiché entrambe sono a termini definitivamente positivi per un teorema si ha che le due serie hanno davvero lo stesso carattere, e quindi studiare la convergenza dell'una equivale a studiare la convergenza dell'altra e viceversa. Però ci sono due cosette che non mi convincono in quello che dici dopo:
• Com'è che da $\frac{1}{n*log n}$ ti si è trasformato in $(1/n)*log n$... che poi sarebbe $\frac{log n}{n}$, che palesemente è diverso da quello che stavamo considerando?
• Sì, la serie armonica $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n$ diverge... ma il fatto che una serie abbia sempre i termini minori dei termini della serie armonica non ti dice nulla. Se fossero stati maggiori avresti detto che divergeva, ma visto che stavolta è una serie più piccola della serie armonica non puoi dire assolutamente nulla sul fatto che converga o no, almeno non in rapporto alla serie armonica. Dovresti studiare altre tecniche per capire se converge o no... e anzitutto, come dice marta, sarebbe bene fare il limite per $n \to \infty$ della successione che definisce la serie, e controlla se ti viene $0$: se sì, la serie potrebbe convergere come potrebbe divergere... ma se non viene $0$, allora sicuramente la serie non converge.
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