Dubbio serie a segno alterno
Ciao, avrei bisogno di una conferma in merito ad un esercizio riguardante una serie a segno alterno.
Il testo è il seguente.
Dire se la serie
$ sum_(n = 1) (-1)^n*(n+logn)/(n^2+2logn)$
è convergente.
Osservo che $ (-1)^n*(n+logn)/(n^2+2logn) ~ (-1)*1/n $.
Quindi, sapendo che $ sum_(n = 1) 1/n $ diverge, secondo il criterio del confronto asintotico diverge anche la serie di partenza.
Il ragionamento è corretto? O meglio, posso utilizzare il criterio del confronto asintotico anche con serie a segno alterno?
Grazie mille.
Il testo è il seguente.
Dire se la serie
$ sum_(n = 1) (-1)^n*(n+logn)/(n^2+2logn)$
è convergente.
Osservo che $ (-1)^n*(n+logn)/(n^2+2logn) ~ (-1)*1/n $.
Quindi, sapendo che $ sum_(n = 1) 1/n $ diverge, secondo il criterio del confronto asintotico diverge anche la serie di partenza.
Il ragionamento è corretto? O meglio, posso utilizzare il criterio del confronto asintotico anche con serie a segno alterno?
Grazie mille.
Risposte
Secondo il criterio di Leibniz, una serie a segni alterni come quella da te presentata, se rispetta le seguenti condizioni:
1)La successione è infinitesima
2)La successione è una successione definitivamente NON CRESCENTE
Essa allora sarà convergente.
Un altro modo per verificare la convergenza di una serie è vedere se converge assolutamente, ovvero: se la serie converge senza un cambio di segno, a maggior ragione dovrà convergere se ha segni alterni.
Tu hai verificato che assolutamente, la serie diverge, ma ciò non ci dà alcuna informazione, dal momento che la successione a segni alterni potrebbe benissimo convergere. In questo caso, bisogna utilizzare il criterio di Leibniz e vedere se soddisfi entrambe le condizioni.
Edit: La tua serie dunque converge.
1)La successione è infinitesima
2)La successione è una successione definitivamente NON CRESCENTE
Essa allora sarà convergente.
Un altro modo per verificare la convergenza di una serie è vedere se converge assolutamente, ovvero: se la serie converge senza un cambio di segno, a maggior ragione dovrà convergere se ha segni alterni.
Tu hai verificato che assolutamente, la serie diverge, ma ciò non ci dà alcuna informazione, dal momento che la successione a segni alterni potrebbe benissimo convergere. In questo caso, bisogna utilizzare il criterio di Leibniz e vedere se soddisfi entrambe le condizioni.
Edit: La tua serie dunque converge.
Intanto grazie mille per la risposta.
Però a dire il vero non ho verificato che la serie convergesse assolutamente, oppure l'ho fatto senza rendermene conto.
Ho solamente constatato che il
$ lim_(n -> oo ) ((-1)^n(n+logn)/(n^2+2logn))/((-1)^n1/n)=1 $
E quindi secondo il criterio del confronto asintotico le due serie hanno il medesimo carattere di convergenza.
Però a dire il vero non ho verificato che la serie convergesse assolutamente, oppure l'ho fatto senza rendermene conto.
Ho solamente constatato che il
$ lim_(n -> oo ) ((-1)^n(n+logn)/(n^2+2logn))/((-1)^n1/n)=1 $
E quindi secondo il criterio del confronto asintotico le due serie hanno il medesimo carattere di convergenza.
Non sono sicuro di capire cosa intendi, ma ovviamente tu puoi "approssimare" le successioni con i rispettivi asintotici e vedere da questi qual è il carattere della serie. Anche per le serie a segno alterno.
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