Dubbio Serie a segno alternato
Salve a tutti , volevo proporvi questo esercizio :
Sommatoria da n=2 a + infinito di :
$ (-1)^n * 1/log(7^n + 2) $
Per studiarne la convergenza assoluta ho pensato di usare il confronto asintotico , ma non sono sicuro , visto che la soluzione proposta dal libro è "convergenza semplice" .
Comunque ...
ho pensato che il modulo di An fosse asintotico a $ 1/7^n $ che ricorda una serie geometrica di ragione $ 1/7 $
e quindi secondo questo ragionamento la serie sarebbe assolutamente convergente , e anche semplicemente per il criterio di leibniz . Però non sono convinto sulla convergenza assoluta , secondo voi è giusto?
ah ho anche un altra domanda...
se io avessi una cosa del genere :
$ 1/ (logn)^7 *sen(n^2/n^3 + 1 ) $
sarebbe lecito dire che tale serie è asintotica a :
$ 1/n^7 * n^2/n^3 = 1/n^8 $
e quindi convergente per confronto con la seria armonica generalizzata di esponente maggiore di uno ?
Sommatoria da n=2 a + infinito di :
$ (-1)^n * 1/log(7^n + 2) $
Per studiarne la convergenza assoluta ho pensato di usare il confronto asintotico , ma non sono sicuro , visto che la soluzione proposta dal libro è "convergenza semplice" .
Comunque ...
ho pensato che il modulo di An fosse asintotico a $ 1/7^n $ che ricorda una serie geometrica di ragione $ 1/7 $
e quindi secondo questo ragionamento la serie sarebbe assolutamente convergente , e anche semplicemente per il criterio di leibniz . Però non sono convinto sulla convergenza assoluta , secondo voi è giusto?
ah ho anche un altra domanda...
se io avessi una cosa del genere :
$ 1/ (logn)^7 *sen(n^2/n^3 + 1 ) $
sarebbe lecito dire che tale serie è asintotica a :
$ 1/n^7 * n^2/n^3 = 1/n^8 $
e quindi convergente per confronto con la seria armonica generalizzata di esponente maggiore di uno ?
Risposte
"Algo":
$ (-1)^n * 1/log(7^n + 2) $
Per studiarne la convergenza assoluta ho pensato di usare il confronto asintotico , ma non sono sicuro , visto che la soluzione proposta dal libro è "convergenza semplice" .
Comunque ...
ho pensato che il modulo di An fosse asintotico a $ 1/7^n $ che ricorda una serie geometrica di ragione $ 1/7 $
e quindi secondo questo ragionamento la serie sarebbe assolutamente convergente , e anche semplicemente per il criterio di leibniz . Però non sono convinto sulla convergenza assoluta , secondo voi è giusto?
Allora, cerco di aiutarmi ma assolutamente non prendere per oro colato cio' che dico.
Per avere convergenza semplice devi avere An decrescente e che tende a zero per n -> infinito.
Nell'esercizio queste condizioni sono soddisfatte, perchè 7^n cresce, quindi il log() cresce e quindi An decresce e va a zero per n->infinito.
Ora, non ho capito come fai ad approssimare il modulo di An con 1/7^n .
"Algo":
se io avessi una cosa del genere :
$ 1/ (logn)^7 *sen(n^2/n^3 + 1 ) $
sarebbe lecito dire che tale serie è asintotica a :
$ 1/n^7 * n^2/n^3 = 1/n^8 $
La frazione $ 1/(logn)^7 $ la puoi scrivere come $ 1/(7logn) $ e non puoi applicare il limite notevole.
Stesso vale per il seno; il limite notevole dice che senx = x per x->0. Nel tuo caso hai l'argomento che non tende a 0 ma 0+1=1 !
attenzione a cosa hai scritto $ 1/(7logn) $=$ 1/(logn)^7 $...questo non è vero, infatti la regola dice che se hai $log(x^2)=2log(x)$ ma non quello che hai scritto te...
comunque la prima serie converge per Leibniz, la seconda converge perchè $alpha>1$ al denominatore...però preferisco che qualcuno ti confermi questo..
comunque la prima serie converge per Leibniz, la seconda converge perchè $alpha>1$ al denominatore...però preferisco che qualcuno ti confermi questo..
"asker993":
attenzione a cosa hai scritto $ 1/(7logn) $=$ 1/(logn)^7 $...questo non è vero, infatti la regola dice che se hai $log(x^2)=2log(x)$ ma non quello che hai scritto te...
comunque la prima serie converge per Leibniz, la seconda converge perchè $alpha>1$ al denominatore...però preferisco che qualcuno ti confermi questo..
Grazie per la correzione!
Quindi per la seconda serie dici di fare
$ 1/((logn)^7) sen( (n^2)/(n^3) + 1) <= 1/((logn)^7) $
in quanto il seno vale al massimo 1. Quindi la serie converge in quanto $1/((logn)^7) $ è la serie armonica generalizzata applicata al logaritmo di grado > 1. Ho capito bene? A me sembra andar bene!
Che stupido! avete ragione ... non posso approssimare l'argomento del seno perchè non tende a zero ma ad uno . Quindi voi suggerite ( per quanto riguarda la seconda serie) di maggiorarla e usare il criterio del confronto? In questo caso quindi
io considero $ 1/(logn)^7 $ come serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno..una cosa del tipo :
$ 1/n^7 $
E fin qui ok , la seconda serie converge per confronto .
La prima invece dite che presenta solo convergenza semplice? perchè anche non quella assoluta?
Vi spiego...
Ho pensato che l'argomento del logaritmo tende a infinito , quindi potevo approssimare l'argomento a $ 7^n $
essendo un infinito di ordine superiore .
Così facendo , ma penso di essermi sbagliato anche qua , avrei una serie asintotica ( in modulo tolgo il -1) a $ 1 / 7 ^n $
che ricorda quella geometrica , però penso sia una mossa arbitraria . Potete chiarirmi le idee? grazie comunque per le risposte xD
io considero $ 1/(logn)^7 $ come serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno..una cosa del tipo :
$ 1/n^7 $
E fin qui ok , la seconda serie converge per confronto .
La prima invece dite che presenta solo convergenza semplice? perchè anche non quella assoluta?
Vi spiego...
Ho pensato che l'argomento del logaritmo tende a infinito , quindi potevo approssimare l'argomento a $ 7^n $
essendo un infinito di ordine superiore .
Così facendo , ma penso di essermi sbagliato anche qua , avrei una serie asintotica ( in modulo tolgo il -1) a $ 1 / 7 ^n $
che ricorda quella geometrica , però penso sia una mossa arbitraria . Potete chiarirmi le idee? grazie comunque per le risposte xD
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