Dubbio serie
Salve a tutti, stavo facendo questo esercizio e mi è sorto un dubbio . L'esercizio è:
$\sum_{k=1}^ ∞ ln(n)/n^(3/2)$.
Io so che per la gerarchia degli infiniti, la potenza va all'infinito più velocemente del logaritmo (quindi la serie converge), pertanto la mia domanda è: perchè non posso maggiorare $ln(n)$ con $n$? Perchè ho provato a farlo e mi verrebbe la serie divergente e guardando le soluzioni dell'esercizio, viene utilizzata $n^(1/3)$. C'è un metodo per capire a quale esponente elevare la $n$ con cui dovrei maggiorare o basta che sia minore di 1 in modo tale che facendo la somma algebrica tra gli esponenti il risultato sia maggiore di 1?
Grazie mille
$\sum_{k=1}^ ∞ ln(n)/n^(3/2)$.
Io so che per la gerarchia degli infiniti, la potenza va all'infinito più velocemente del logaritmo (quindi la serie converge), pertanto la mia domanda è: perchè non posso maggiorare $ln(n)$ con $n$? Perchè ho provato a farlo e mi verrebbe la serie divergente e guardando le soluzioni dell'esercizio, viene utilizzata $n^(1/3)$. C'è un metodo per capire a quale esponente elevare la $n$ con cui dovrei maggiorare o basta che sia minore di 1 in modo tale che facendo la somma algebrica tra gli esponenti il risultato sia maggiore di 1?
Grazie mille
Risposte
Ciao!
No, questo è falso. Secondo questo ragionamento, anche $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{\sqrt{n}}$ convergerebbe ma non è così.
L'unica cosa che puoi dire è che potrebbe convergere perché, dato che la successione $\frac{\log n}{n^{3/2}} \to 0$ per $n \to \infty$ (questo per la gerarchia degli infiniti che hai citato), allora vale la condizione necessaria (ma non sufficiente!) di convergenza.
Puoi farlo, ma hai sbagliato la conclusione sul carattere della serie da tale maggiorazione: fare una maggiorazione di quel tipo non ti porta a concludere nulla, perché hai che
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{n^{3/2}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^{3/2}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$$
Ma $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge: quindi non puoi concludere nulla sulla serie di partenza a membro di sinistra, perché hai dimostrato che, detto molto brutalmente, essa è "minore o uguale a $\infty$" e quindi non sei certo della sua convergenza. Gli unici risultati che puoi ottenere sono se dimostri che una certa serie è minore di una serie convergente (allora converge) oppure se essa è maggiore di una serie divergente (allora diverge).
Per l'ultima domanda: purtroppo (o per fortuna) sono capacità o di intuito o che apprendi con l'esperienza e lo studio costante. Diciamo che un buon modo è studiare bene la teoria, sviscerando per bene come mai un certo ragionamento ha funzionato e un altro non funziona, oppure studiare le dimostrazioni astratte per poi riadattarle al caso particolare.
"Gianluk3":
Io so che per la gerarchia degli infiniti, la potenza va all'infinito più velocemente del logaritmo (quindi la serie converge)
No, questo è falso. Secondo questo ragionamento, anche $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{\sqrt{n}}$ convergerebbe ma non è così.
L'unica cosa che puoi dire è che potrebbe convergere perché, dato che la successione $\frac{\log n}{n^{3/2}} \to 0$ per $n \to \infty$ (questo per la gerarchia degli infiniti che hai citato), allora vale la condizione necessaria (ma non sufficiente!) di convergenza.
"Gianluk3":
perchè non posso maggiorare $ln(n)$ con $n$? Perchè ho provato a farlo e mi verrebbe la serie divergente
Puoi farlo, ma hai sbagliato la conclusione sul carattere della serie da tale maggiorazione: fare una maggiorazione di quel tipo non ti porta a concludere nulla, perché hai che
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{n^{3/2}} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^{3/2}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$$
Ma $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge: quindi non puoi concludere nulla sulla serie di partenza a membro di sinistra, perché hai dimostrato che, detto molto brutalmente, essa è "minore o uguale a $\infty$" e quindi non sei certo della sua convergenza. Gli unici risultati che puoi ottenere sono se dimostri che una certa serie è minore di una serie convergente (allora converge) oppure se essa è maggiore di una serie divergente (allora diverge).
Per l'ultima domanda: purtroppo (o per fortuna) sono capacità o di intuito o che apprendi con l'esperienza e lo studio costante. Diciamo che un buon modo è studiare bene la teoria, sviscerando per bene come mai un certo ragionamento ha funzionato e un altro non funziona, oppure studiare le dimostrazioni astratte per poi riadattarle al caso particolare.
Perfetto ora ho capito, mi era sfuggito il fatto che se diverge la serie di destra non potevo dire nulla.
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