Dubbio risoluzione serie

[alexinfurs]

Ciao ragazzi, ho provato a risolvere la serie

$\sum_{n=1}^\infty \frac{nlogn}{(n^2+1)^2}$

con il criterio degli infinitesimi ponendo p=2

e mi viene

$lim_(n->\infty)(frac{n^2*n*logn}{(n^2+1)^2}) = 0$

quindi la serie converge.

E' corretto?
Grazie in anticipo.

[pater46]

Il risultato è corretto, anche se io l'avrei interpretato meglio come serie asintotica a $ sum ln n/n^3 $, che converge, oppure avrei usato il criterio di condensazione per levare il logaritmo.

[alexinfurs]

Grazie per la risposta lampo! (Sempre tu !!)
Il criterio di condensazione, ahimè, non so cosa sia, per quanto riguarda la serie asintotica, come si fa? dico che il limite all'infinito della serie tende alla serie del limite e poi ne studio il carattere?

Grazie ancora.

[pater46]

Ah scusa me ne ero dimenticato.

Il confronto asintotico altro non è che un corollario del criterio del confronto. In parole spicciole tu hai che se all'infinito il termine generale $a_n$ è approssimabile ad una successione $b_n$, allora la serie $sum a_n$ ha lo stesso carattere di $sum b_n$.

Il criterio di condensazione di cauchy, invece, ti dice che se tu hai una serie $sum a_n$ con $a_n >= 0 \forall n in NN$, allora la serie $sum a_n$ ha lo stesso carattere della serie $sum 2^n a_{2^n} $, con $a_{2^n}$ estratta della successione di partenza $a_n$ di indici $2^n$

[alexinfurs]

Grazie mille. Sei stato molto chiaro e gentile.

Ciao