Dubbio risoluzione logatirmo
$ln(1/(x-2))=(x+2)$
Come si risolve un'equazione del genere? Ho visto su wolfram è mi porta una risultato con una certa ''W'' !
Sinceramente non so proprio,quindi chiedo a voi e vi ringrazio 1000 volte a prescindere!
Come si risolve un'equazione del genere? Ho visto su wolfram è mi porta una risultato con una certa ''W'' !
Sinceramente non so proprio,quindi chiedo a voi e vi ringrazio 1000 volte a prescindere!
Risposte
Prova così:
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=(x+2)$[/tex]
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=(x+2)\cdot \ln e$[/tex]
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=\ln e^{x+2}$[/tex]
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=(x+2)$[/tex]
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=(x+2)\cdot \ln e$[/tex]
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=\ln e^{x+2}$[/tex]
Non mi sembra molto utile. Credo che metodi algebrici per trovare soluzioni di equazioni come questa non esistano. Prova a considerare la funzione [tex]\displaystyle f(x)=\log\left (\frac{1}{x-2}\right )-x-2=-\log(x-2)-x-2\,\,\,\forall x\in (2,+\infty)[/tex] e studiane la monotonia.
"Delirium":
Prova così:
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=(x+2)$[/tex]
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=(x+2)\cdot \ln e$[/tex]
[tex]$\ln \left(\frac{1}{x-2} \right)=\ln e^{x+2}$[/tex]
Poi però torno alla forma di prima.
Possibile che semplicemente non sia risolvibile con la preparazione di analisi ?perché su wolfram mi portava una certa regola di Labert (o qualcosa del genere) .
Io per risolvere equazioni di questo tipo mi servo di tecniche di approssimazione degli zeri tipo il metodo delle tangenti e affini.
La funzione [tex]W[/tex] di Lambert, un'utilissima funzione speciale nata proprio per risolvere questo tipo di equazioni. Se non sbaglio risolve l'equazione funzionale
[tex]W(x)e^{W(x)}=x[/tex]
e dovrebbe essere valida per ogni [tex]x\in\mathbb{C}[/tex]. Comunque di certo non la si studia in un corso di analisi standard.
L'unico metodo che puoi usare è quello che ti ho suggerito io: studia la funzione [tex]f(x)=-\log(x-2)-x-2\,\,\,\forall x\in (2,+\infty)[/tex] usando limiti e derivate.
Intanto osserva che
[tex]\underset {x\to 2^+}\lim f(x) = +\infty \text{ e } \underset{x\to+\infty}\lim f(x) = -\infty[/tex]
da cui puoi già dire che l'equazione [tex]f(x)=0[/tex] ammette almeno una soluzione nel dominio di [tex]f[/tex]. Sai dire se questa è unica?
[tex]W(x)e^{W(x)}=x[/tex]
e dovrebbe essere valida per ogni [tex]x\in\mathbb{C}[/tex]. Comunque di certo non la si studia in un corso di analisi standard.
L'unico metodo che puoi usare è quello che ti ho suggerito io: studia la funzione [tex]f(x)=-\log(x-2)-x-2\,\,\,\forall x\in (2,+\infty)[/tex] usando limiti e derivate.
Intanto osserva che
[tex]\underset {x\to 2^+}\lim f(x) = +\infty \text{ e } \underset{x\to+\infty}\lim f(x) = -\infty[/tex]
da cui puoi già dire che l'equazione [tex]f(x)=0[/tex] ammette almeno una soluzione nel dominio di [tex]f[/tex]. Sai dire se questa è unica?
"Banalmente" con il teorema di esistenza degli zeri non si perviene a nulla?
Ho già usato il teorema degli zeri (assieme alla definizione di limite), ma questo non garantisce certo nulla riguardo all'unicità della soluzione.
Per inciso, non è difficile, anzi!
Per inciso, non è difficile, anzi!
"Richard_Dedekind":
Ho già usato il teorema degli zeri (assieme alla definizione di limite) [...]
Pardon, non avevo fatto ben caso al tuo post.
"Richard_Dedekind":
[...] ma questo non garantisce certo nulla riguardo all'unicità della soluzione.
Ovviamente no. Come hai già ribadito, è necessario lo studio della derivata prima.
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