Dubbio risoluzione limiti
Salve, stavo svolgendo il seguente limite e, nonostante sia riuscito a raggiungere il risultato corretto, ho un grosso dubbio:
$ lim_(x -> 1) (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/((x-1)(x-1)) $
Per risolvere ho raccolto nel secondo esponente il $-1/2$ cosi da poter raccogliere a loro volta le e, quindi applicando il limite notevole con $f(x)=-x^2+2x$ che tende a 0 per $x->1$ sono arrivato a
$((x^2-2x)(e^(-1/2)))/((x-1)(x-1))$
Il mio primo tentativo di risoluzione mi ha portato a concludere subito: sostituendo la x con 1 ottengo un numero negativo al numeratore e uno 0 sotto, quindi il limite da destra sara' $-oo$ e viceversa.
Controllando su wolfram ho visto che il risultato sarebbe dovuto essere $-e^(-1/2)$, quindi ho ritentato.
Nell'ultimo passaggio, sviluppando il quadrato di binomio, resto effettivamente con un 1 al denominatore e con $-e^(-1/2)$ al numeratore e quindi ci siamo.
Non capisco come lo svolgere o meno quest'ultimo passaggio possa cambiare il risultato, penso di stare sbagliando qualcosa, spero possiate aiutarmi.
$ lim_(x -> 1) (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/((x-1)(x-1)) $
Per risolvere ho raccolto nel secondo esponente il $-1/2$ cosi da poter raccogliere a loro volta le e, quindi applicando il limite notevole con $f(x)=-x^2+2x$ che tende a 0 per $x->1$ sono arrivato a
$((x^2-2x)(e^(-1/2)))/((x-1)(x-1))$
Il mio primo tentativo di risoluzione mi ha portato a concludere subito: sostituendo la x con 1 ottengo un numero negativo al numeratore e uno 0 sotto, quindi il limite da destra sara' $-oo$ e viceversa.
Controllando su wolfram ho visto che il risultato sarebbe dovuto essere $-e^(-1/2)$, quindi ho ritentato.
Nell'ultimo passaggio, sviluppando il quadrato di binomio, resto effettivamente con un 1 al denominatore e con $-e^(-1/2)$ al numeratore e quindi ci siamo.
Non capisco come lo svolgere o meno quest'ultimo passaggio possa cambiare il risultato, penso di stare sbagliando qualcosa, spero possiate aiutarmi.
Risposte
Ciao Gianni Trattore,
No stai attento, è sempre il solito giochino, poni $t := x - 1 $ e diventa...
No stai attento, è sempre il solito giochino, poni $t := x - 1 $ e diventa...
Ciao @Gianni Trattore !
Premetto che non ho capito molto della tua domanda, magari prova a postare tutti i passaggi così cerco di darti una risposta esaustiva. Ad ogni modo, premesso che quel limite puoi risolverlo in due passaggi con De l'Hopital o anche con Taylor (e, se ti interessa fammi sapere e ti posto i passaggi), se vuoi comunque risolverlo coi limiti notevoli perché ancora non hai trattato questi argomenti, io procederei così:
$lim_(x -> 1) (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/(x-1)^2=lim_(x -> 1) (e^(-1/2)(cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2+1/2)))/(x-1)^2=lim_(x -> 1) (e^(-1/2)(cos(x-1)-e^((x-1)^2/2)))/(x-1)^2$. A questo punto aggiungo e tolgo 1 nella parentesi del numeratore per ricondurmi a due limiti notevoli: $lim_(x -> 1) (e^(-1/2)(-1+cos(x-1)-e^((x-1)^2/2)+1))/(x-1)^2=e^(-1/2)lim_(x -> 1) ((-1+cos(x-1))/(x-1)^2-(e^((x-1)^2/2)-1)/(((x-1)^2)/2*2))=e^(-1/2)*(-1/2-1/2)=-e^(-1/2)$.
Spero di essere stato chiaro nei passaggi. Se c'è qualcosa che non ti torna scrivi pure e sarò lieto di risponderti, nei limiti delle mie (scarsissime) capacità.
Saluti
P.S. Mentre scrivevo ho notato che ha risposto anche pilloeffe che saluto
Premetto che non ho capito molto della tua domanda, magari prova a postare tutti i passaggi così cerco di darti una risposta esaustiva. Ad ogni modo, premesso che quel limite puoi risolverlo in due passaggi con De l'Hopital o anche con Taylor (e, se ti interessa fammi sapere e ti posto i passaggi), se vuoi comunque risolverlo coi limiti notevoli perché ancora non hai trattato questi argomenti, io procederei così:
$lim_(x -> 1) (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/(x-1)^2=lim_(x -> 1) (e^(-1/2)(cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2+1/2)))/(x-1)^2=lim_(x -> 1) (e^(-1/2)(cos(x-1)-e^((x-1)^2/2)))/(x-1)^2$. A questo punto aggiungo e tolgo 1 nella parentesi del numeratore per ricondurmi a due limiti notevoli: $lim_(x -> 1) (e^(-1/2)(-1+cos(x-1)-e^((x-1)^2/2)+1))/(x-1)^2=e^(-1/2)lim_(x -> 1) ((-1+cos(x-1))/(x-1)^2-(e^((x-1)^2/2)-1)/(((x-1)^2)/2*2))=e^(-1/2)*(-1/2-1/2)=-e^(-1/2)$.
Spero di essere stato chiaro nei passaggi. Se c'è qualcosa che non ti torna scrivi pure e sarò lieto di risponderti, nei limiti delle mie (scarsissime) capacità.
Saluti
P.S. Mentre scrivevo ho notato che ha risposto anche pilloeffe che saluto
Ciao! Sbagliavo nel raccoglimento di $e^(-1/2)$, ho sbagliato ad applicare le proprieta delle potenze dicendo che $a^n*a^m=a^(n*m)$. Ho sbagliato anche dicendo subito che $cos(x-1)$ per $x->1 = cos(1-1) = 1$. Mi hai risolto 2 dubbi in una sola risposta, grazie mille!
edit:
Posso chiederti anche come faresti con l'hopital e taylor? Personalmente le avevo escluse subito vedendo un po' troppe funzioni insieme. Mi basta una risposta sommaria, per capire dove e come applicarli, non ti voglio far perdere tempo con tutti i passaggi.
edit:
Posso chiederti anche come faresti con l'hopital e taylor? Personalmente le avevo escluse subito vedendo un po' troppe funzioni insieme. Mi basta una risposta sommaria, per capire dove e come applicarli, non ti voglio far perdere tempo con tutti i passaggi.
Grazie anche a @pilloeffe. Nonostante non mi facciano impazzire le risoluzioni per sostituzione mi sa che devo cominciare a farmele piacere, visto che esce tutto più facilmente.
"Gianni Trattore":
Grazie anche a @pilloeffe.
Prego!
"Gianni Trattore":
Nonostante non mi facciano impazzire le risoluzioni per sostituzione mi sa che devo cominciare a farmele piacere, visto che esce tutto più facilmente.
Beh sì, secondo me è meglio, il limite proposto con la sostituzione suggerita nel mio post precedente diventava abbastanza semplice:
$\lim_{x \to 1} (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/(x-1)^2 = \lim_{t \to 0} (e^(-1/2)cos t-e^(((t + 1)^2-2(t + 1))/2))/t^2 = \lim_{t \to 0} (e^(-1/2)cos t-e^((t^2 - 1)/2))/t^2 = $
$ = e^{- 1/2} \cdot \lim_{t \to 0} (cos t -e^(t^2/2))/t^2 = - e^{- 1/2} \cdot \lim_{t \to 0} (1 - cos t + e^(t^2/2) - 1)/t^2 = $
$ = - e^{- 1/2} \cdot \lim_{t \to 0} [(1 - cos t)/t^2 + 1/2 \cdot (e^(t^2/2) - 1)/(t^2/2)] = - e^{- 1/2} \cdot [1/2 + 1/2] = - e^{- 1/2} $
che coincide con la soluzione già ottenuta da BayMax che saluto.
"Gianni Trattore":
Posso chiederti anche come faresti con l'hopital e taylor? Personalmente le avevo escluse subito vedendo un po' troppe funzioni insieme. Mi basta una risposta sommaria, per capire dove e come applicarli, non ti voglio far perdere tempo con tutti i passaggi.
Certamente ! De l'Hopital è abbastanza veloce in questo caso:$lim_(x->1) (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/(x-1)^2$ essendo nella forma indeterminata $0/0$ possiamo applicare De l'Hopital (mi raccomando alle ipotesi del teorema) e, derivando numeratore e denominatore si ha: $lim_(x->1) (-e^(-1/2)sin(x-1)-e^((x^2-2x)/2)*(2x-2)/2)/(2(x-1))=lim_(x->1) (-e^(-1/2)sin(x-1))/(2(x-1))-lim_(x->1) (e^((x^2-2x)/2)*(x-1))/(2(x-1))$. A questo punto, sfruttando il limite notevole del seno si ha: $-1/2e^(-1/2)-1/2e^(-1/2)=-e^(-1/2)$.
Perdonami, ora vado un po' di fretta, appena ho un attimo ti posto anche i passaggi con Taylor
Scusate se riesumo questa discussione, ma per motivi di tempo avevo lasciato in sospeso la risposta con Taylor, quindi mi sembrava giusto concludere.
@Gianni Trattore, sviluppiamo tutte le funzioni in serie di Taylor nell'intorno del punto $x=1$ arrestandoci al secondo ordine.
Avremo:
$cos(x-1)=1-1/2(x-1)^2+o(x-1)^2$
$e^((x^2-2x)/2)=e^(-1/2)+e^(-1/2)/2(x-1)^2+o(x-1)^2$
Passando al limite con questi sviluppi si ha:
$lim_(x->1) (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/(x-1)^2=$
$=lim_(x->1)(e^(-1/2)(1-1/2(x-1)^2+o(x-1)^2)-e^(-1/2)-e^(-1/2)/2(x-1)^2+o(x-1)^2)/(x-1)^2=$
$=lim_(x->1)(e^(-1/2)-e^(-1/2)/2(x-1)^2-e^(-1/2)-e^(-1/2)/2(x-1)^2+o(x-1)^2)/(x-1)^2=$
$=-e^(-1/2)$
@Gianni Trattore: spero sia chiaro e scusa per il ritardo nella risposta.
Saluti
@Gianni Trattore, sviluppiamo tutte le funzioni in serie di Taylor nell'intorno del punto $x=1$ arrestandoci al secondo ordine.
Avremo:
$cos(x-1)=1-1/2(x-1)^2+o(x-1)^2$
$e^((x^2-2x)/2)=e^(-1/2)+e^(-1/2)/2(x-1)^2+o(x-1)^2$
Passando al limite con questi sviluppi si ha:
$lim_(x->1) (e^(-1/2)cos(x-1)-e^((x^2-2x)/2))/(x-1)^2=$
$=lim_(x->1)(e^(-1/2)(1-1/2(x-1)^2+o(x-1)^2)-e^(-1/2)-e^(-1/2)/2(x-1)^2+o(x-1)^2)/(x-1)^2=$
$=lim_(x->1)(e^(-1/2)-e^(-1/2)/2(x-1)^2-e^(-1/2)-e^(-1/2)/2(x-1)^2+o(x-1)^2)/(x-1)^2=$
$=-e^(-1/2)$
@Gianni Trattore: spero sia chiaro e scusa per il ritardo nella risposta.
Saluti
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