Dubbio risoluzione di un limite

[federico.piazza1]

Ciao a tutti!
Sono nuovo su questo forum e tra una decina di giorni avrò l'esame di analisi matematica.

Mi sono imbatutto in questo esercizio:

\( \lim_{x \to \infty} {-x^2+x\cos{x}} \)

Ora, ho un dubbio per quanto rigurada la soluzione; lasciandolo così avrei \( -\infty + \not{\exists} \)
quindi direi che il limite \( \not{\exists} \).

Però se raccolgo la \( x \) avrei questo:

\( \lim_{x \to \infty} {x(-x+\cos{x})} \)

Così dentro la parentesi avrei \( -\infty + \) quantità limitata tra -1 e 1, quindi ottengo \( -\infty \) e resta:

\( \lim_{x \to \infty} {x(-\infty)} \)

Perciò il risultato del limite sarebbe \( -\infty \)

Quale dei due procedimenti è corretto???
Ringrazio anticipatamente per le risposte!
Ciao:)

[Palliit]

Ciao. Prova a raccogliere $x^2$.

[federico.piazza1]

E' come raccogliere solo \( x \), mi verrebbe come risultato \( -\infty \).
Se questa fosse la soluzione (che purtroppo di questo esercizio non la ho) perchè la soluzione( \( \not{\exists} \)) che otterei con il primo procedimento è sbagliata?
Grazie

[Covenant]

Hai $lim_(xtooo) (xcosx-x^2$). Come hai fatto notare il limite del primo addendo non esiste ma in generale questo non significa che non esista il limite della somma. Intuitivamente, puoi notare che il termine $-x^2$ va molto velocemente verso $-oo$ e la fa da padrona rispetto all'altro addendo, "tirando" verso $-oo$ l'intera somma.

In termini rigori basta raccogliere così: $lim_(xtooo) (xcosx-x^2) = lim_(xtooo) x^2*(cosx/x-1) = -oo$.

[federico.piazza1]

Ok! grazie mille.
Mi hai chiarito questo mio dubbio.

Ciao.