Dubbio riguardo equazione delle onde
Salve, stavo tudiando un po' di elettromagnetismo quando, guardando la forma dell'equazione d'onda nel caso di sorgente puntiforme mi è venuto un dubbio.
Quando si ha un termine di sorgente puntiforme, l'equazione assume, secondo i miei appunti, la forma
$(del^2phi)/(delt^2) - nabla^2(phi) = -S(x_0,t)*delta(x-x_0)$
Dove $phi$ è la funzione da trovare, e la $delta$ è proprio la delta di Dirac. Al che mi è venuta in mente la trasformata di Fourier, la cui proprietà $F((df)/(dt)) = -iwF(f(t))$ vale anche nel caso di funzioni discontinue (ma con discontinuità finita), semplicemente si aggiungerà un termine $delta(x-x_0)$ dove $x_0$ è il punto di discontinuità.
Però la delta di Dirac non è ben definita (o forse sì e non ce l'hanno detto) se non con le sue proprietà (so che è una distribuzione), di sicuro non è una funzione nel senso usuale del termine perché non è definita punto per punto.
Allora mi chiedevo, ma l'equazione d'onda come l'ho scritta sopra, non è insensata? Sapendo che la funzione d'onda che esce fuori deve essere una funzione di classe $CC^k$, ha senso uguagliare la derivata temporale - la sua divergenza a una funzione che contiene un termine di delta di dirac?
Quando si ha un termine di sorgente puntiforme, l'equazione assume, secondo i miei appunti, la forma
$(del^2phi)/(delt^2) - nabla^2(phi) = -S(x_0,t)*delta(x-x_0)$
Dove $phi$ è la funzione da trovare, e la $delta$ è proprio la delta di Dirac. Al che mi è venuta in mente la trasformata di Fourier, la cui proprietà $F((df)/(dt)) = -iwF(f(t))$ vale anche nel caso di funzioni discontinue (ma con discontinuità finita), semplicemente si aggiungerà un termine $delta(x-x_0)$ dove $x_0$ è il punto di discontinuità.
Però la delta di Dirac non è ben definita (o forse sì e non ce l'hanno detto) se non con le sue proprietà (so che è una distribuzione), di sicuro non è una funzione nel senso usuale del termine perché non è definita punto per punto.
Allora mi chiedevo, ma l'equazione d'onda come l'ho scritta sopra, non è insensata? Sapendo che la funzione d'onda che esce fuori deve essere una funzione di classe $CC^k$, ha senso uguagliare la derivata temporale - la sua divergenza a una funzione che contiene un termine di delta di dirac?
Risposte
Immagino che la delta in quest'ambito venga utilizzata semplicemente per indicare la sorgente come puntiforme, ovvero presente nel sol punto [tex]x=x_0[/tex] e nulla all'esterno.
Sì, questo lo penso anche io, però tuttavia mi domandavo quanto fosse formalmente corretta una notazione di quel tipo. Fisicamente è chiara, ma matematicamente molto meno (sarà che le distribuzioni le studierò il prossimo semestre)...
In realtà se scrivi l'equazione in quel modo (e soprattutto se pensi a dati impulsivi), è chiaro che non sei più autorizzato a pensare l'equazione in ambito classico; quindi devi riguardare la tua PDE in ambito distribuzionale.
Ok, ma poi è possibile tornare indietro? Voglio dire, io alla fine devo ottenere un'equazione nel senso classico del termine, per esempio, nel caso del campo elettrostatico, da li ottengo uno sviluppo in multipoli, che comunque è ben definito. Quindi se guardo la PDE in ambito distribuzionale, poi è garantito che posso tornare indietro?
"Zkeggia":
Ok, ma poi è possibile tornare indietro? Voglio dire, io alla fine devo ottenere un'equazione nel senso classico del termine, per esempio, nel caso del campo elettrostatico, da li ottengo uno sviluppo in multipoli, che comunque è ben definito. Quindi se guardo la PDE in ambito distribuzionale, poi è garantito che posso tornare indietro?
Non sempre.
Per "tornare" ad una soluzione classica serve un risultato di regolarità, altrimenti non si può e ti devi tenere la soluzione nel senso delle distribuzioni (che, poi, è il senso più debole che hai sul mercato se non erro).
In generale, quello di tornare alle soluzioni classiche è uno dei problemi fondamentali dell'ultimo secolo nella teoria delle PDE.
Leggi qui per una noticina in proposito.
Uao, perfetto, grazie mille, proprio quello che cercavo. Non approfondisco oltre perché andrei troppo "fuori dal seminato" studiando cose che forse vedrò il prossimo semestre, però almeno avere le idee un po' meno confuse non mi fa male, soprattutto per capire le dimostrazioni.
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