Dubbio riguardante i teoremi sulla continuità/derivabilità.

[Antomus1]

Perchè in molti teoremi in cui sono coinvolte sia la continuità che la derivabilità tra le condizioni necessarie non vi è che la funzione $f(x)$ debba essere derivabile in un intervallo "chiuso e limitato" $[a,b]$ ma solo nei "punti interni " a tale intervallo???? .....ovvero perche in tali teoremi non è necessaria la derivabilità della funzione agli estremi ????

[ciampax]

Perché la definizione di derivata si basa sui punti interni all'intervallo che consideri. Agli estremi le cose possono essere un po' complicate.

[Seneca1]

http://www.matematicamente.it/forum/teorema-di-rolle-i-perche-delle-ipotesi-t68485-10.html#481792

[vict85]

Perché non è usata nella dimostrazione e se è derivabile all'interno dell'intervallo potrebbe non esserlo agli estremi.

[Antomus1]

Grazie e tutti per le risposte.....

[Sk_Anonymous]

Forse sto per dire una cavolata, però, se la derivata è un limite di una certa espressione, e se il limite di qualcosa esiste soltanto se sono uguali i limiti destro e sinistro, la derivata di una funzione in un determinato punto esiste soltanto se sono uguali i limiti dei rapporti incrementali destro e sinistro. Parlare di derivabilità agli estremi di un intervallo non avrebbe senso, poichè il limite del rapporto incrementale destro (sinistro) esiste, però quello sinistro (destro) non esiste, perchè non esiste la funzione al di fuori degli estremi dell'intervallo. Questa è la mia interpretazione.