Dubbio "filosofico"
Ho intitolato questo topic Dubbio "filosofico" poichè la mia domanda non vuole essere di carattere pratico bensì un chiarimento riguardo una questione sui limiti.
Una funzione, per x che tende ad un punto di accumulazione, tende al valore del limite o è il valore del limite?
Spero di essermi spiegato bene.
Vorrei capire se, per quanto il valore del limite possa essere preciso, esso porti con se un errore dovuto al fatto che in un intorno di un punto di accumulazione vi sono infiniti punti della successione che darebbero una stima più precisa del valore del limite; oppure se il limite tiene conto di questo tendere al punto di accumulazione al tendere all'infinito (che è una nostra costruzione!) della successione dei numeri naturali.
P.S. leggendo il teorema di Taylor (che non ho ancora studiato) la prima delle due ipotesi sembra essere la più certa, ma dentro di me sono più propenso ad accettare la seconda
Spero voi possiate darmi una risposta e, nel frattempo, vi auguro una buona serata.
Ciao!
Una funzione, per x che tende ad un punto di accumulazione, tende al valore del limite o è il valore del limite?
Spero di essermi spiegato bene.
Vorrei capire se, per quanto il valore del limite possa essere preciso, esso porti con se un errore dovuto al fatto che in un intorno di un punto di accumulazione vi sono infiniti punti della successione che darebbero una stima più precisa del valore del limite; oppure se il limite tiene conto di questo tendere al punto di accumulazione al tendere all'infinito (che è una nostra costruzione!) della successione dei numeri naturali.
P.S. leggendo il teorema di Taylor (che non ho ancora studiato) la prima delle due ipotesi sembra essere la più certa, ma dentro di me sono più propenso ad accettare la seconda
Spero voi possiate darmi una risposta e, nel frattempo, vi auguro una buona serata.
Ciao!
Risposte
Non so se ho capito bene il tuo dubbio ma il limite è preciso, per definizione.
Cioè quando calcoli un limite, se esiste, quello che trovi [size=150]è[/size] il valore del limite, quindi più preciso di così non si può
È la funzione che avvicinandosi al punto di accumulazione si approssima sempre più al valore del limite (quando esiste).
Tiene sempre presente che il valore del limite (di una funzione in un suo punto di accumulazione) è un "oggetto" diverso dal valore che assume (può assumere) la funzione in tal punto.
Ciò non esclude il fatto che i due valori possano coincidere ma rimangono comunque due cose diverse.
IMHO
Cordialmente, Alex
Cioè quando calcoli un limite, se esiste, quello che trovi [size=150]è[/size] il valore del limite, quindi più preciso di così non si può
È la funzione che avvicinandosi al punto di accumulazione si approssima sempre più al valore del limite (quando esiste).
Tiene sempre presente che il valore del limite (di una funzione in un suo punto di accumulazione) è un "oggetto" diverso dal valore che assume (può assumere) la funzione in tal punto.
Ciò non esclude il fatto che i due valori possano coincidere ma rimangono comunque due cose diverse.
IMHO
Cordialmente, Alex
Esempio pratico per risolvere il dubbio "filosofico":
\[
f(x)=\begin{cases}
0, & x\ne 0, \\
1, & x=0.
\end{cases}\]
Quanto vale
\[
\lim_{x\to 0 } f(x)\ ?\]
Quanto vale
\[
f(0)\ ?\]
Se si capisce questo esempio, si è capita quasi tutta la continuità. Per capirla tutta, manca solo un altro esempio:
\[f(x)=\begin{cases} \sin \frac1x, &x\ne 0 , \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
\[
f(x)=\begin{cases}
0, & x\ne 0, \\
1, & x=0.
\end{cases}\]
Quanto vale
\[
\lim_{x\to 0 } f(x)\ ?\]
Quanto vale
\[
f(0)\ ?\]
Se si capisce questo esempio, si è capita quasi tutta la continuità. Per capirla tutta, manca solo un altro esempio:
\[f(x)=\begin{cases} \sin \frac1x, &x\ne 0 , \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
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