Dubbio proprietà nello spazio di Schwartz e trasformata di Fourier della funzione segno
Salve a tutti ragazzi, preparando l'orale di Fisica matematica (analisi complessa, trasformate di laplace e fourier in ambito classico e distribuzionale + meccanica razionale) sono incappato in alcune proprietà e nella dimostrazione della trasformata di $f(x)=sgn(x)$ (in ambito distribuzionale) che mi sono poco chiare. Spero che mi possiate essere d'aiuto.
Dopo aver introdotto lo spazio di Schwartz $S$ e aver definito la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata T come $ = $ $g in S$, mi ritrovo le seguenti proprietà, usate poi per ricavare alcune trasformate notevoli:
$i)$ Siano $ f in C^infty$ e $T in S'$(ove $S'$ è l'insieme delle distribuzioni temperate). Se $fT=0$ allora $T$ ha supporto negli zeri di $f$, cioè $ = 0$ per ogni $g in S : Supp (g) nn {zeri di f} = 0$.
e già questa proprietà non riesco a "visualizzarla", non mi è chiara... E quindi non lo sono le seguenti...
$ii)$ Se $f in C^infty$ e ha $N$ zeri semplici distinti $x_1, x_2, ,x_N$, allora $fT=0$ se e solo se $T= sum_ {n=1}^\N c_i delta(x-x_i)$.
E questi $c_i$ cosa sono? Coefficienti arbitrari? Queste proprietà vengono direttamente dagli appunti e non essendo presenti nel libro da noi adottato (il Barozzi), non so come raccapezzarmi... E infine:
$iii)$ Se $f in C^infty$ e ha uno zero di ordine $k$ $x_0$, allora $fT=0$ se e solo se $T= sum_ {r=1}^\k c_r delta^((r))(x-x_0)$.
A questo punto inizia a ricavare la trasformata di Fourier, in ambito distribuzionale, di $f(x)=sgn(x)$
Riporto la dimostrazione e, in particolare, un passaggio basato sulle proprietà precedenti che non mi torna!
In ambito distribuzionale $sgn'(x)=2delta(x)$ da cui, applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri: $Fsgn(x)=2Fdelta(x)=2$; ma $Ff'(x)=2pi i lambda Ff(x)$ da cui, uguagliando risulta $Fsgn(x)=1/(pi i) v.p. 1/lambda + T$ con $T in S' : pi i lambda T=0 $.
Da dove lo pesca fuori sta distribuzione temperata? Non capisco perché si debba includere nel momento in cui si eguagliano i due termini...Proseguendo nella dimostrazione...
Da cui, per la proprietà precedente:
$Fsgn(x)=1/(pi i) v.p.1/lambda + cdelta(lambda)$
Si calcoli $c$:
$Fsgn(-x)=F(-sgn(x))=-Fsgn(x)$;
ma per la proprietà di trasformazione affine: $Fsgn(-x)=F(sgn(x))(-lambda)=-1/(pi i) v.p. 1/lambda + cdelta(lambda)$ da cui, uguagliando $c=0$
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi come funzionano queste cose?
Dopo aver introdotto lo spazio di Schwartz $S$ e aver definito la trasformata di Fourier di una distribuzione temperata T come $
$i)$ Siano $ f in C^infty$ e $T in S'$(ove $S'$ è l'insieme delle distribuzioni temperate). Se $fT=0$ allora $T$ ha supporto negli zeri di $f$, cioè $
e già questa proprietà non riesco a "visualizzarla", non mi è chiara... E quindi non lo sono le seguenti...
$ii)$ Se $f in C^infty$ e ha $N$ zeri semplici distinti $x_1, x_2, ,x_N$, allora $fT=0$ se e solo se $T= sum_ {n=1}^\N c_i delta(x-x_i)$.
E questi $c_i$ cosa sono? Coefficienti arbitrari? Queste proprietà vengono direttamente dagli appunti e non essendo presenti nel libro da noi adottato (il Barozzi), non so come raccapezzarmi... E infine:
$iii)$ Se $f in C^infty$ e ha uno zero di ordine $k$ $x_0$, allora $fT=0$ se e solo se $T= sum_ {r=1}^\k c_r delta^((r))(x-x_0)$.
A questo punto inizia a ricavare la trasformata di Fourier, in ambito distribuzionale, di $f(x)=sgn(x)$
Riporto la dimostrazione e, in particolare, un passaggio basato sulle proprietà precedenti che non mi torna!
In ambito distribuzionale $sgn'(x)=2delta(x)$ da cui, applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri: $Fsgn(x)=2Fdelta(x)=2$; ma $Ff'(x)=2pi i lambda Ff(x)$ da cui, uguagliando risulta $Fsgn(x)=1/(pi i) v.p. 1/lambda + T$ con $T in S' : pi i lambda T=0 $.
Da dove lo pesca fuori sta distribuzione temperata? Non capisco perché si debba includere nel momento in cui si eguagliano i due termini...Proseguendo nella dimostrazione...
Da cui, per la proprietà precedente:
$Fsgn(x)=1/(pi i) v.p.1/lambda + cdelta(lambda)$
Si calcoli $c$:
$Fsgn(-x)=F(-sgn(x))=-Fsgn(x)$;
ma per la proprietà di trasformazione affine: $Fsgn(-x)=F(sgn(x))(-lambda)=-1/(pi i) v.p. 1/lambda + cdelta(lambda)$ da cui, uguagliando $c=0$
Chi sarebbe così gentile da spiegarmi come funzionano queste cose?
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