Dubbio proposizione sulla serie di Taylor
Proposizione:
Sia \(\displaystyle f \) derivabile \(\displaystyle n \) volte in \(\displaystyle (a,b) \) e sia \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \). Sia \(\displaystyle P(x) \) un polinomio di grado n tale che \(\displaystyle f(x) = P(x) + o((x-x_0)^n) \) quando \(\displaystyle x->x_0 \). Allora \(\displaystyle P(x) = T_{n,f}(x) \) dove \(\displaystyle T_{n,f}(x):= \Sigma_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \)
Fine proposizione
Ora prendo ad esempio la seguente funzione \(\displaystyle h(x) := \frac{sin(x)}{x} \). Posso applicare formalmente taylor in 0 solo al numeratore, ovvero al seno, ed poi dividendo per x ottenere -> \(\displaystyle h(x) = 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^6) \). Questo polinomio è il polinomio di Taylor? Secondo la proposizione sopra non posso stabilirlo perché essa necessita dell'ipotesi che \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \), dove nel nostro caso \(\displaystyle x_0=0 \).
Per caso possiamo indebolire la proposizione all'inizio citata?
Ovviamente mi sto occupando solo del caso reale, nel caso complesso ho un'altra proposizione che mi permette di affermare che quello è proprio il polinomio di Taylor.
Sono abbastanza confuso
Ringrazio ovviamente in anticipo chiunque voglia aiutarmi!
Sia \(\displaystyle f \) derivabile \(\displaystyle n \) volte in \(\displaystyle (a,b) \) e sia \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \). Sia \(\displaystyle P(x) \) un polinomio di grado n tale che \(\displaystyle f(x) = P(x) + o((x-x_0)^n) \) quando \(\displaystyle x->x_0 \). Allora \(\displaystyle P(x) = T_{n,f}(x) \) dove \(\displaystyle T_{n,f}(x):= \Sigma_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \)
Fine proposizione
Ora prendo ad esempio la seguente funzione \(\displaystyle h(x) := \frac{sin(x)}{x} \). Posso applicare formalmente taylor in 0 solo al numeratore, ovvero al seno, ed poi dividendo per x ottenere -> \(\displaystyle h(x) = 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^6) \). Questo polinomio è il polinomio di Taylor? Secondo la proposizione sopra non posso stabilirlo perché essa necessita dell'ipotesi che \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \), dove nel nostro caso \(\displaystyle x_0=0 \).
Per caso possiamo indebolire la proposizione all'inizio citata?
Ovviamente mi sto occupando solo del caso reale, nel caso complesso ho un'altra proposizione che mi permette di affermare che quello è proprio il polinomio di Taylor.
Sono abbastanza confuso
Ringrazio ovviamente in anticipo chiunque voglia aiutarmi!
Risposte
Sai bene che per individuare una funzione non basta l’espressione analitica.
La tua $h$ dov’è definita?
La tua $h$ dov’è definita?
Era solo un errore di battitura. Il concetto era quello
Nono, l’errore continua ad esserci e ad essere grosso quanto una casa.
Avevo letto dov'è finita, invece che definita. Infatti non capivo cosa volessi intendere con quel messaggio. Chiedo scusa. E' definita in tutto R eccetto lo 0, ovviamente. Ho preso quella funzione apposta, proprio perché in 0 c'è il problema.
Cioè se io dovessi applicare taylor centrato in 0 non potrei perché in 0 non è definita, ma svolgendo il calcolo cosi addirittura mi torna che in 0 vale 1. Taylor solo su sin(x) posso applicarlo no? Non vedo perché no.
Comunque lo avevo fatto intendere qui
Capace che per via della stanchezza mi stia sfuggendo qualche fatto elementare o banale, mi scuso in tal caso. Anzi se è cosi fammelo notare subito e chiudiamo la discussione, questo dubbio non è mai comparso in molto tempo e ora è comparso cosi dal caso, quindi molto probabilmente è il mio cervello che ha deciso di fare cilecca.
Cioè se io dovessi applicare taylor centrato in 0 non potrei perché in 0 non è definita, ma svolgendo il calcolo cosi addirittura mi torna che in 0 vale 1. Taylor solo su sin(x) posso applicarlo no? Non vedo perché no.
Comunque lo avevo fatto intendere qui
Secondo la proposizione sopra non posso stabilirlo perché essa necessita dell'ipotesi che x0∈(a,b), dove nel nostro caso x0=0.
Capace che per via della stanchezza mi stia sfuggendo qualche fatto elementare o banale, mi scuso in tal caso. Anzi se è cosi fammelo notare subito e chiudiamo la discussione, questo dubbio non è mai comparso in molto tempo e ora è comparso cosi dal caso, quindi molto probabilmente è il mio cervello che ha deciso di fare cilecca.
"luca66":
[La funzione $h$] E' definita in tutto R eccetto lo 0, ovviamente. Ho preso quella funzione apposta, proprio perché in 0 c'è il problema.
Ok, ora meglio.
"luca66":
Cioè se io dovessi applicare taylor centrato in 0 non potrei perché in 0 non è definita [...]
Esattamente.
"luca66":
[...] ma svolgendo il calcolo cosi addirittura mi torna che in 0 vale 1. Taylor solo su sin(x) posso applicarlo no? Non vedo perché no.
[...]
Capace che per via della stanchezza mi stia sfuggendo qualche fatto elementare o banale, mi scuso in tal caso. Anzi se è cosi fammelo notare subito e chiudiamo la discussione, questo dubbio non è mai comparso in molto tempo e ora è comparso cosi dal caso, quindi molto probabilmente è il mio cervello che ha deciso di fare cilecca.
Ah, solo su $sin x$ certo... Ma poi devi dividere per $x$, quindi devi necessariamente supporre che $x!=0$.
E questo ti frega, perché ti impedisce di sostituire $x=0$ nell’espressione che hai ottenuto.
Il ragionamento corretto in campo reale potrebbe essere questo.
La $h$, per noti fatti, si prolunga con continuità su $0$ assegnandole in tal punto il valore $1=lim_(x -> 0) h(x)$.
Continuando a chiamare $h$ il prolungamento, si vede che $h$ è derivabile fuori da $0$ (per regole di derivazione delle funzioni elementari) ed ha:
\[
h^\prime (x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}\; ;
\]
d’altra parte, in $0$ risulta:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{h(x) - h(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2} = 0\; ;
\]
dunque $h$ è derivabile ovunque ed ha:
\[
h^\prime (x) = \begin{cases}
\frac{x\cos x - \sin x}{x^2} & \text{, se } x \neq 0\\
0 & \text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
(che è il prolungamento continuo su $0$ di \( \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}\)).
La $h^\prime$ è continua in $RR$ e derivabile per $x!=0$, con derivata:
\[
h^{\prime \prime} (x) = - \frac{(x^2 - 2) \sin x + 2x \cos x}{x^3}
\]
la quale è convergente in $0$; dunque $h^\prime$ è derivabile anche in $0$ ed ha $ h^{\prime \prime}(0) = -1/3 = lim_(x -> 0) h^{\prime \prime}(x)$.
La $h^{\prime \prime}$ è definita e continua in $RR$ ed è derivabile per $x!=0$, con derivata $h^{\prime \prime \prime}$ convergente in $0$; quindi $h^{\prime\prime}$ è derivabile ovunque; etc...
Sistemando i dettagli riesci a mostrare che $h$ è di classe $C^oo$ in tutto $RR$, quindi ha senso scrivere il polinomio di Taylor (del prolungamento continuo) centrato in $0$.
Fatto ciò hai finito, perché il teorema sull’unicità del polinomio approssimante ti assicura che il polinomio di Taylor di $h$ coincide con quello calcolato con la tecnica vista sopra.
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