Dubbio parte principale
Ciao a tutti! Per prima cosa voglio rendere publicamente lode a chi amministra questo sito, che mi ha giá salvato la vita diverse volte in pochi mesi.
In secondo luogo vorrei avere un dotto parere riguardo ai diversi metodi di cui ci si puó servire per trovare la parte principale di una data funzione f(x) infinita o infinitesima in un certo punto ( sia esso x0 o infinito);
Per il momento quello che ho capito é che ci sono due possibili strategie:
1) risolvere un limite parametrico trovando l'ordine di infinito/infinitesimo di f(x) nel punto (x0 o infinito)
2) calcolare lo sviluppo di taylor di f(x) centrato in x0 arrestandomi alla prima derivata non nulla: Il polinomio cosí trovato sará la piú semplice delle approssimazioni di f(x) in x0 ( e dunque asintotico a f(x) nel punto in questione).
Se quello che ho detto é giusto (e credo che lo sia) salta subito all'occhio come il secondo metodo sia piú semplice, in particolare per le funzioni integrali!
Tuttavia mi verrebbe a questo punto da dire che il secondo metodo é utilizzabile solo in una ristretta manciata di casi, ovvero quando il polinomio di taylor centrato in x0 esiste:
- x0 deve essere un numero reale; non infinito ( il polinomio di taylor ad infinito non esiste)
-x0 deve appartenere al dominio di f(x) (come fa ad esistere taylor se non esiste la funzione?)
- f(x) deve essere derivabile n volte in un intorno di x0 con x0 incluso.
Di conseguenza il secondo metodo risulta alla fine utile solo nel caso di una funzione g(x) definita e infinitesima in un certo punto x0.
Vorrei una conferma della correttezza di quanto scritto, grazie in anticipo.
In secondo luogo vorrei avere un dotto parere riguardo ai diversi metodi di cui ci si puó servire per trovare la parte principale di una data funzione f(x) infinita o infinitesima in un certo punto ( sia esso x0 o infinito);
Per il momento quello che ho capito é che ci sono due possibili strategie:
1) risolvere un limite parametrico trovando l'ordine di infinito/infinitesimo di f(x) nel punto (x0 o infinito)
2) calcolare lo sviluppo di taylor di f(x) centrato in x0 arrestandomi alla prima derivata non nulla: Il polinomio cosí trovato sará la piú semplice delle approssimazioni di f(x) in x0 ( e dunque asintotico a f(x) nel punto in questione).
Se quello che ho detto é giusto (e credo che lo sia) salta subito all'occhio come il secondo metodo sia piú semplice, in particolare per le funzioni integrali!
Tuttavia mi verrebbe a questo punto da dire che il secondo metodo é utilizzabile solo in una ristretta manciata di casi, ovvero quando il polinomio di taylor centrato in x0 esiste:
- x0 deve essere un numero reale; non infinito ( il polinomio di taylor ad infinito non esiste)
-x0 deve appartenere al dominio di f(x) (come fa ad esistere taylor se non esiste la funzione?)
- f(x) deve essere derivabile n volte in un intorno di x0 con x0 incluso.
Di conseguenza il secondo metodo risulta alla fine utile solo nel caso di una funzione g(x) definita e infinitesima in un certo punto x0.
Vorrei una conferma della correttezza di quanto scritto, grazie in anticipo.
Risposte
"Koller":
2) calcolare lo sviluppo di taylor di f(x) centrato in x0 arrestandomi alla prima derivata non nulla [...]
Ma proprio no...
"Koller":
Se quello che ho detto é giusto (e credo che lo sia) salta subito all'occhio come il secondo metodo sia piú semplice, in particolare per le funzioni integrali!
Beh no, dipende: esistono casi in cui è più semplice agire in un modo e altri in maniera alternativa.
"Koller":
-x0 deve appartenere al dominio di f(x) (come fa ad esistere taylor se non esiste la funzione?)
Se con $f(x)$ intendi l'intera funzione non è così, basta che il pezzo che intendi sviluppare sia definito nel punto in esame.
"Koller":
- f(x) deve essere derivabile n volte in un intorno di x0 con x0 incluso.
Non necessariamente.
"Koller":
Di conseguenza il secondo metodo risulta alla fine utile solo nel caso di una funzione g(x) definita e infinitesima in un certo punto x0.
No.
Ciao brancaleone e grazie della risposta, della quale non condivido tuttavia alcune affermazioni:
-tu dici che puó essere utile, al fine di trovare la parte principale di una funzione f(x) infinita o infinitesima in un punto x0, andare a cercare lo sviluppo di taylor di f(x) centrato in x0 andando oltre al primo termine non nullo (équesto che hai detto). La qual cosa a me sembra superflua in quanto ogni termine successivo é un infinitesimo di ordine superiore ed é per questo trascurabile. In altre parole ogni polinomio di taylor di f(x) centrato in x0 é asintotico a f(x) in x0 e la sua parte principale é il polinomio di grado inferiore tra questi ( questo ho capito io perlomeno).
- il polinomio di taylor centrato in x0 di grado n esiste sotto alcune ipotesi (f(x) derivabile n volte in un intorno di x0)! Questo é scritto sul mio libro e mi metti abbastanza in difficoltá se affermi il contrario.
- come fa ad esistere il polinomio di taylor di f(x) centrato in x0 se f(x) non é definita in x0? Smetteró di reputare tale eventualitá impossibile solo in presenza di controesempi. (Nota bene che una funzione non é definita nei punti in cui é infinita).
PS: ho letto i link a cui mi hai indirizzato ma, ahimé, il primo C'entra poco a mio avviso, infatti si intitola limiti con taylor pur riferendosi al mio punto 2), nel quale si tratta non di limiti (quello é il punto 1)) ma della ricerca della parte principale mediante gli sviluppi con taylor.
Grazie di nuovo per il tuo tempo e la tua attenzione.
-tu dici che puó essere utile, al fine di trovare la parte principale di una funzione f(x) infinita o infinitesima in un punto x0, andare a cercare lo sviluppo di taylor di f(x) centrato in x0 andando oltre al primo termine non nullo (équesto che hai detto). La qual cosa a me sembra superflua in quanto ogni termine successivo é un infinitesimo di ordine superiore ed é per questo trascurabile. In altre parole ogni polinomio di taylor di f(x) centrato in x0 é asintotico a f(x) in x0 e la sua parte principale é il polinomio di grado inferiore tra questi ( questo ho capito io perlomeno).
- il polinomio di taylor centrato in x0 di grado n esiste sotto alcune ipotesi (f(x) derivabile n volte in un intorno di x0)! Questo é scritto sul mio libro e mi metti abbastanza in difficoltá se affermi il contrario.
- come fa ad esistere il polinomio di taylor di f(x) centrato in x0 se f(x) non é definita in x0? Smetteró di reputare tale eventualitá impossibile solo in presenza di controesempi. (Nota bene che una funzione non é definita nei punti in cui é infinita).
PS: ho letto i link a cui mi hai indirizzato ma, ahimé, il primo C'entra poco a mio avviso, infatti si intitola limiti con taylor pur riferendosi al mio punto 2), nel quale si tratta non di limiti (quello é il punto 1)) ma della ricerca della parte principale mediante gli sviluppi con taylor.
Grazie di nuovo per il tuo tempo e la tua attenzione.
"Koller":
-tu dici che puó essere utile, al fine di trovare la parte principale di una funzione f(x) infinita o infinitesima in un punto x0, andare a cercare lo sviluppo di taylor di f(x) centrato in x0 andando oltre al primo termine non nullo (équesto che hai detto). La qual cosa a me sembra superflua in quanto ogni termine successivo é un infinitesimo di ordine superiore ed é per questo trascurabile. In altre parole ogni polinomio di taylor di f(x) centrato in x0 é asintotico a f(x) in x0 e la sua parte principale é il polinomio di grado inferiore tra questi ( questo ho capito io perlomeno).
...ma lo hai letto bene il link?
"In questo link Brancaleone":26vb7mzq:
Se sviluppi una funzione ad un ordine insufficiente [...] non va bene. [...] Infatti se dopo che hai sviluppato ti spariscono tutti i termini devi continuare lo sviluppo finché questo fenomeno non accade più.
Hai capito da quell'esempio perché era sbagliato fermarsi al secondo ordine?
"Koller":
- il polinomio di taylor centrato in x0 di grado n esiste sotto alcune ipotesi (f(x) derivabile n volte in un intorno di x0)! Questo é scritto sul mio libro e mi metti abbastanza in difficoltá se affermi il contrario.
Eh ma bello mio, esprimiti un po' meglio
Scrivendo:"Koller":
- f(x) deve essere derivabile n volte in un intorno di x0 con x0 incluso.
hai parlato solo della derivabilità della funzione, non che lo sviluppo di grado $n$ prevede una funzione derivabile $n$ volte - che sì è giusto.
"Koller":
- come fa ad esistere il polinomio di taylor di f(x) centrato in x0 se f(x) non é definita in x0? Smetteró di reputare tale eventualitá impossibile solo in presenza di controesempi. (Nota bene che una funzione non é definita nei punti in cui é infinita).
Mi domando nuovamente se hai guardato bene gli esempi nei link...
Lì non è stata sviluppata l'intera funzione, ma un suo pezzo che nel punto in esame è definito.
"Koller":
PS: ho letto i link a cui mi hai indirizzato ma, ahimé, il primo C'entra poco a mio avviso, infatti si intitola limiti con taylor pur riferendosi al mio punto 2), nel quale si tratta non di limiti (quello é il punto 1)) ma della ricerca della parte principale mediante gli sviluppi con taylor.
La parte principale dipende anche da cosa il pezzo da sviluppare è accompagnato, e per illustrartelo ti ho portato ad esempio dei limiti: in tutta franchezza non vedo il fuori tema.
Mi accorgo, rileggendo il tuo link, che la distinzione tra i miei due casi non é poi cosí netta e, inoltre, vale la pena di ripassarsi le regole sugli sviluppi della somma/rapporto/funzione composta etc..
Aspettati mie nuove quando avró rimuginato abbastanza!
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