Dubbio numero complesso
Ciao a tutti,
Mi sono trovato a dover risolvere questa equazione in campo complesso:
$ z^6-3*|z^2|=0 $
Qualcuno può aiutarmi a risolverla? Ho provato a sostituire
$ t=z^2 $
Ma quando lavoro con i valori assoluti non mi sento mai sicuro di quello che faccio!
Grazie mille
Mi sono trovato a dover risolvere questa equazione in campo complesso:
$ z^6-3*|z^2|=0 $
Qualcuno può aiutarmi a risolverla? Ho provato a sostituire
$ t=z^2 $
Ma quando lavoro con i valori assoluti non mi sento mai sicuro di quello che faccio!
Grazie mille
Risposte
"drugantibus91":
$ z^6-3*|z^2|=0 $ [...]
Ma quando lavoro con i valori assoluti non mi sento mai sicuro di quello che faccio!
Amo molto l'analisi coplessa, ma anche per me è più le volte che è un'incognita piuttosto che un ambiente conosciuto. Tuttavia, spesso riesco a capirci qualcosa vedendo il problema da un'altra angolazione, cioè
$z^6=3|z^2|$
sapendo che il modulo di un complesso è un numero reale non negativo, anche quello al primo membro è un numero reale non negativo.
A questo punto, ho visto che avevo scritto una cosa che non funziona sempre, a mi correggo e aggiungo che quanto detto non aiuta molto in questo caso.
$z^6-3|z^2|=0$
lo vedo come $(z^3-\sqrt(3)|z|)(z^3+\sqrt(3)|z|)=0$ e dato che avevo scritto una cavolata - gentilmente correttami da gi8 - e non posso eliminare il post, si può tentare di risolverlo con il metodo "contoso", cioè per ognuna delle 2 equazioni
$z=x+iy$
da cui (es. per la prima)
$(x+iy)^3=\sqrt(3)\sqrt(x^2+y^2)$ ovvero $x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3=\sqrt(3)\sqrt(x^2+y^2)$
da cui sfruttando la definizione di uguaglianza dei complessi
${ ( x^3-3xy^2=\sqrt(3)\sqrt(x^2+y^2)),(3x^2y-y^3=0 ):}$
Ovviamente occorre partire dalla seconda e risalire alla prima: il metodo contoso è ovviamente contoso e improduttivo, ma quando non mi viene in mente altro, mi affido e spero!
"Zero87":Questo è verissimo, ma non è vero che $z^6 in RR=> z in RR$
...$z^6=3|z^2|$
sapendo che il modulo di un complesso è un numero reale non negativo, anche quello al primo membro è un numero reale non negativo,...
@gi8
Grazie del "recall", avevo risolto così un esercizio in cui si poteva utilizzare il mio metodo, ma in questo caso m'era sfuggito il buonsenso.
Grazie del "recall", avevo risolto così un esercizio in cui si poteva utilizzare il mio metodo, ma in questo caso m'era sfuggito il buonsenso.
Intendevo che non puoi levare il modulo (cosa che è possibile solo se $z^2$ è un numero reale non negativo)
Io la risolverei passando alla forma trigonometrica:
$z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$
Sostituendo nell'equazione e tenendo conto che $\rho!=0$ :
$\rho^4\cos6\theta+i\rho^4\sin6\theta=3$
da cui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}\rho^4\cos6\theta=3\\ \sin6\theta=0\end{cases} \)
Pertanto si ha :
\(\displaystyle \theta=k \frac{\pi}{3} ,\rho=\sqrt[4]{3} \)
Le soluzioni sono quindi date da:
\(\displaystyle z=\sqrt[4]{3}\left(\cos(k \frac{\pi}{3})+i\sin(k \frac{\pi}{3})\right),k \in Z \)
$z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$
Sostituendo nell'equazione e tenendo conto che $\rho!=0$ :
$\rho^4\cos6\theta+i\rho^4\sin6\theta=3$
da cui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}\rho^4\cos6\theta=3\\ \sin6\theta=0\end{cases} \)
Pertanto si ha :
\(\displaystyle \theta=k \frac{\pi}{3} ,\rho=\sqrt[4]{3} \)
Le soluzioni sono quindi date da:
\(\displaystyle z=\sqrt[4]{3}\left(\cos(k \frac{\pi}{3})+i\sin(k \frac{\pi}{3})\right),k \in Z \)
Direi che il metodo illustrato da ciromario è il migliore in questo caso.
Bisogna però stare attenti al fatto che quando si passa in coordinate polari con $rho>0$
si perde una soluzione, e cioè $z=0$.
Quindi le soluzioni sono $z= 0$ e $z= root4 (3)*(cos(k pi/3)+i sin(k pi/3))$, con $k in {0,1,2,3,4,5}$
In tutto ci sono dunque sette soluzioni.
Bisogna però stare attenti al fatto che quando si passa in coordinate polari con $rho>0$
si perde una soluzione, e cioè $z=0$.
Quindi le soluzioni sono $z= 0$ e $z= root4 (3)*(cos(k pi/3)+i sin(k pi/3))$, con $k in {0,1,2,3,4,5}$
In tutto ci sono dunque sette soluzioni.
Giuste considerazioni quelle di Gi8. Ne terrò il debito conto...
[ot]Nella classifica delle Università italiane Milano e Roma si trovano "soltanto" in posizione mediana. Napoli è ancora più giù. Per Napoli nessuna sorpresa ( ) ma Milano e Roma ?[/ot]
[ot]Nella classifica delle Università italiane Milano e Roma si trovano "soltanto" in posizione mediana. Napoli è ancora più giù. Per Napoli nessuna sorpresa (
) ma Milano e Roma ?[/ot]
Io avrei fatto così.
Dall'equazione riscritta come \(z^6=3|z|^2\) segue che \(z\) risolve il problema se soddisfa la relazione:
\[
|z|^6=3|z|^2 \qquad \Leftrightarrow \qquad |z|^2 (|z|^4-3)=0
\]
e ciò importa che o \(|z|=0\), cioé \(z=0\), oppure \(|z|^4=3\), cioé \(|z|=\sqrt[4]{3}\).
Ma allora, tralasciando il caso banale, si può scrivere \(z=\sqrt[4]{3}\ e^{\imath\ \theta}\) e sostituire nell'equazione assegnata, ottenendo:
\[
3\sqrt[4]{9}\ e^{\imath\ 6\theta} - 3\sqrt[4]{9}=0
\]
equivalente a:
\[
e^{\imath\ 6\theta} =1
\]
che importa \(\theta = k\frac{\pi}{3}\) con \(k=0,\ldots ,5\).
Quindi le soluzioni sono quelle trovate già per altra via.
Analogamente, l'equazione si può riscrivere:
\[
(z^3-\sqrt{3}\ |z|)(z^3 +\sqrt{3}\ |z|)=0
\]
e dunque basta risolvere separatamente le due equazioni \(z^3-\sqrt{3}\ |z|=0\) e \(z^3 +\sqrt{3}\ |z|=0\) con lo stesso trucco di sopra.
Oppure si potrebbe riscrivere l'equazione come:
\[
z\ (z^5 -3\overline{z}) =0
\]
e procedere come sopra, dopo aver eliminato il caso \(z=0\).
Insomma, si possono tentare varie strade.
Dall'equazione riscritta come \(z^6=3|z|^2\) segue che \(z\) risolve il problema se soddisfa la relazione:
\[
|z|^6=3|z|^2 \qquad \Leftrightarrow \qquad |z|^2 (|z|^4-3)=0
\]
e ciò importa che o \(|z|=0\), cioé \(z=0\), oppure \(|z|^4=3\), cioé \(|z|=\sqrt[4]{3}\).
Ma allora, tralasciando il caso banale, si può scrivere \(z=\sqrt[4]{3}\ e^{\imath\ \theta}\) e sostituire nell'equazione assegnata, ottenendo:
\[
3\sqrt[4]{9}\ e^{\imath\ 6\theta} - 3\sqrt[4]{9}=0
\]
equivalente a:
\[
e^{\imath\ 6\theta} =1
\]
che importa \(\theta = k\frac{\pi}{3}\) con \(k=0,\ldots ,5\).
Quindi le soluzioni sono quelle trovate già per altra via.
Analogamente, l'equazione si può riscrivere:
\[
(z^3-\sqrt{3}\ |z|)(z^3 +\sqrt{3}\ |z|)=0
\]
e dunque basta risolvere separatamente le due equazioni \(z^3-\sqrt{3}\ |z|=0\) e \(z^3 +\sqrt{3}\ |z|=0\) con lo stesso trucco di sopra.
Oppure si potrebbe riscrivere l'equazione come:
\[
z\ (z^5 -3\overline{z}) =0
\]
e procedere come sopra, dopo aver eliminato il caso \(z=0\).
Insomma, si possono tentare varie strade.
"ciromario":
Nella classifica delle Università italiane Milano e Roma si trovano "soltanto" in posizione mediana. Napoli è ancora più giù. Per Napoli nessuna sorpresa (
Perchè dici qui 'ste cose? E, soprattutto, "Per Napoli nessuna sorpresa" mi sembra un po' offensivo.
[ot]
Dalle mie parti si dice Haje voglia 'e mettere rumm, 'nu strunz nun addeventa babbà (trad. per i non partenopei: "puoi aggiungere tutto il rum che vuoi, ma un pezzo di cacca non diventa un babà").
[/ot]
"Gi8":
Perchè dici qui 'ste cose? E, soprattutto, "Per Napoli nessuna sorpresa" mi sembra un po' offensivo.
Dalle mie parti si dice Haje voglia 'e mettere rumm, 'nu strunz nun addeventa babbà (trad. per i non partenopei: "puoi aggiungere tutto il rum che vuoi, ma un pezzo di cacca non diventa un babà").
[/ot]
Grazie a tutti per le risposte! 
"ciromario":
Io la risolverei passando alla forma trigonometrica:
$z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$
Sostituendo nell'equazione e tenendo conto che $\rho!=0$ :
$\rho^4\cos6\theta+i\rho^4\sin6\theta=3$
da cui il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}\rho^4\cos6\theta=3\\ \sin6\theta=0\end{cases} \)
Pertanto si ha :
\(\displaystyle \theta=k \frac{\pi}{3} ,\rho=\sqrt[4]{3} \)
Le soluzioni sono quindi date da:
\(\displaystyle z=\sqrt[4]{3}\left(\cos(k \frac{\pi}{3})+i\sin(k \frac{\pi}{3})\right),k \in Z \)
mi è però sorto un dubbio, la soluzione dell'equazione
$ sin(6theta)=0 $
non dovrebbe essere
$ theta=kpi /6 $ ?
Il seno risula 0 a $ kappa pi $
Abbiamo una condizione che dice che $rho^4 cos(6theta)=3$, cioè $cos(6theta)=3/(rho^4)$.
Dunque $cos(6theta)$ deve essere positivo.
Quando si ha $sin(6theta)=0$ e $cos(6theta)$ positivo? Quando $6theta= 2kpi$, cioè $theta= k pi/3$
Dunque $cos(6theta)$ deve essere positivo.
Quando si ha $sin(6theta)=0$ e $cos(6theta)$ positivo? Quando $6theta= 2kpi$, cioè $theta= k pi/3$
Ragazzi riuppo un secondo questo topic, perché mi sto scrivendo un formulario sui numeri complessi e volevo un secondo chiedervi di aiutarmi. Allora, ad ora so che:
$z = x + iy = rho(costheta + isentheta)$
$rho = sqrt(x^2 + y^2)$
La radice n-esima si calcola:
$n = n$ e $k = 0.. n-1$
$w_k = (rho)^(1/n)*(cos((theta + 2pik)/(n)) + isen((theta + 2pik)/(n))$
Ora, mi manca solo come si calcola $theta$ per il calcolo delle radici! Me lo sapreste dire perfavore?
$z = x + iy = rho(costheta + isentheta)$
$rho = sqrt(x^2 + y^2)$
La radice n-esima si calcola:
$n = n$ e $k = 0.. n-1$
$w_k = (rho)^(1/n)*(cos((theta + 2pik)/(n)) + isen((theta + 2pik)/(n))$
Ora, mi manca solo come si calcola $theta$ per il calcolo delle radici! Me lo sapreste dire perfavore?
Se \(z= 0\), l'argomento non è definito.
Se \(z\neq 0\) è assegnato in forma algebrica, i.e. \(z=x+\imath\ y\), allora i suoi argomenti sono le soluzioni del sistema trigonometrico:
\[
\begin{cases}
\cos \theta = \frac{x}{\rho} \\
\sin \theta = \frac{y}{\rho}
\end{cases}
\]
che si ottiene uguagliando le parti reali ed i coefficienti delle parti immaginarie delle due rappresentazioni \(x+\imath\ y\) e \(\rho\cos \theta +\imath\ \rho\sin \theta\).
Se \(z\neq 0\) è assegnato in forma algebrica, i.e. \(z=x+\imath\ y\), allora i suoi argomenti sono le soluzioni del sistema trigonometrico:
\[
\begin{cases}
\cos \theta = \frac{x}{\rho} \\
\sin \theta = \frac{y}{\rho}
\end{cases}
\]
che si ottiene uguagliando le parti reali ed i coefficienti delle parti immaginarie delle due rappresentazioni \(x+\imath\ y\) e \(\rho\cos \theta +\imath\ \rho\sin \theta\).
Perfetto, grazie gugo.
P.s.
Secondo te, in casi di frazioni di numeri complessi, mi conviene eseguire la divisione o ''razionalizzare'' il denominatore complesso?
P.s.
Secondo te, in casi di frazioni di numeri complessi, mi conviene eseguire la divisione o ''razionalizzare'' il denominatore complesso?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo