Dubbio nel dimostrare sviluppo di Taylor con de L'Hospital

[Gmork]

Vogliamo dimostrare che $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n]}{(x-x_0)^n}=0$

Quando ad esempio si passa alla derivata seconda, ho trovato scritto che $Df'(x_0)(x-x_0)=f^{(2)}(x_0)(x-x_0)$

Ma vedendo $f'(x_0)(x-x_0)$ come il prodotto di due funzioni, applicando la regola mi risulta: $f^{(2)}(x_0)(x-x_0)+f'(x_0)$ in quanto $D(x-x_0)=1$ . Dov'è che sbaglio?

EDIT:Dovrei percaso considerare $Dx_0=1$ come la derivabile di una generica $x$ ?

[dissonance]

La derivata la devi fare rispetto ad $x$, non rispetto ad $x_0$ che è fissato.

[Gmork]

Allora, visto che $x_0$ è fissato $D(x-x_0)=1$ giusto? Ma ancora non mi so spiegare come mai trovo scritto $Df'(x_0)(x-x_0)=f^{(2)}(x_0)(x-x_0)$ anziché $f^{(2)}(x_0)(x-x_0)+f'(x_0)$

[dissonance]

MA sarebbero sbagliate entrambe le scritture. La derivata rispetto ad $x$ di $f'(x_0)(x-x_0)$ è $f'(x_0)$. Infatti il grafico di $f'(x_0)(x-x_0)$ è una retta di coefficiente angolare $f'(x_0)$ (e che interseca l'asse delle $x$ nel punto $(x_0, 0)$, ma questo è ininfluente). Da dove dovrebbe uscire una fantomatica "derivata seconda di $f$"?

[Gmork]

Ah credo di aver capito dove sbagliavo: credevo che nella derivata del Resto il termine $f'(x_0)$ provenisse da $Df(x_0)=f'(x_0)$ quando invece, in effetti, una volta che scegliamo $x_0$ la $f'(x_0)$ diventa un numero ben preciso e quindi con derivata nulla. $f'(x_0)$ ovvero il secondo termine che troviamo appena facciamo la derivata del Resto, in realtà proviene proprio da $D(f'(x_0)(x-x_0))$

Grazie, adesso sono molto meno confuso