Dubbio negli sviluppi con Taylor

[maion1]

Buon giorno,

avrei bisogno di un aiuto riguardo gli sviluppi, e per farlo vorrei affrontare l'esempio di:

sviluppare $sin(pi/(1-x))$ attorno a $x=2$


Io avevo pensato che ponendo $t=pi/(1-x)$ trovo che in $x_0=2, t_0=pi$

Dunque con il nuovo parametro avrei:

$sint=sint_0+cost_0(t-pi)-(sint_0(t-pi)^2)/2-....$

A questo punto ripristinando x:

$sin(pi/(1-x))=sinpi+cost_0(pi/(1-x)-pi)-(sint_0(pi/(1-x))^2)/2-....$


Invece trovo un risultato diverso se derivo interamente $sin(pi/(1-x))$ e sviluppo, non capisco cosa sbagli nel cambio parametro e vorrei imparare il modo corretto di agire (perché spesso utile)

[Obidream]

Premesso che mi sembra un po' una seccatura come esercizio e potrei sbagliare ( quindi prendi ciò che ti dico con le pinze) mi sa che c'è prima da sviluppare $pi/(1-x)$ ovviamente per $x->2$ e poi procedere con il seno ma così com'è chiaramente non si può fare.
L'idea è quella di ricondursi a qualcosa del tipo $(1+t)^\alpha$ con $t->0$:

$pi*(1-x)^(-1)$

$pi*(1-x+1-1)^(-1)$

$pi*(-1+(2-x))^(-1)$

$-pi*(1+(x-2))^(-1)$

Ora posso procedere con lo sviluppo, facciamo sino all'ordine $3$:

$-pi*(1-(x-2)+(x-2)^2-(x-2)^3+o(x-2)^3)$

$-pi +pi(x-2)-pi(x-2)^2+pi(x-2)^3+o(x-2)^3$

Ora puoi sfruttare gli archi associati e sviluppare il seno, credo.

[maion1]

Ovviamente grazie per l'intervento, credo di aver capito il tuo svolgimento, tuttavia non capisco perché sia costretto a sviluppare la funzione interna in ordine di composizione.

In via teoria, faccio un esempio, se sviluppassi con Mc.Laurin $sin(x^2)$ beh psso fare quel discorso di sostituire t,sviluppare sint in zero, poiché la g(x)=x^2 interna in x=0 vale zero.
E dopo ripristinare la t=x^2, ecco, ma per quale motivo non posso farlo anche con la mia funzione in esempio?

Alla fine sviluppo in t il seno nel punto pi-greco [che è dove per x=2 vale la g(x) (funzione interna)] con Taylor, e poi di ripiazzo t=g(x)

[Obidream]

Mmh, mi fai lo sviluppo di $log(1+sin(x))$ per $x->0$?

[maion1]

Volentieri

Allora io farei così:

poiché la funzione più interna è $sin(0)=0$ allora posso usare Mc. Laurin sulla esterna ottenendo (chiamando t=sinx):

$log(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+o(t^3)$

sinx, invece:

$sinx=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)$

Componendo:

$(x-x^3/6+x^5/120)-(x-x^3/6+x^5/120)^2/2+(x-x^3/6+x^5/120)^3/3+o((x-x^3/6+x^5/120)^3)$

Potrei,altresì,seguire un secondometodo di calcolo diretto:

Mi derivo $log(1+sinx)$, ne calcolo le derivate in 0 e scrivo la moltiplicazione per il polinomio (x-x_0)^n, n=1,2,3...

[Obidream]

Ecco, ora al di là del fatto che l'ordine non era specificato etc etc, vedi che hai sviluppato anche il seno? Quindi nell'esercizio di prima potresti fare così:

$sin(pi/(1-x))$

$t=pi/(1-x)$, quindi $t->-pi$ per $x->2$

Quindi ora devi sviluppare $sin(t)$ per $t->-pi$:

$sin(-pi+(t+pi))$

Con gli archi associati:

$-sin(t+pi)$ e a questo punto puoi sviluppare il seno. Una volta che lo hai fatto ti riconduci alla variabile originale e devi sviluppare anche $pi/(1-x)$

[maion1]

Certo certo, sul fatto che certe volte vada sviluppato ho afferrato, purtuttavia mi pare che non stia facendo nulla di illegale, cioè se la funzione interna non la sviluppassi e la inserissi nello sviluppo di quella esterna dovrei ricondurmi allo stesso risultato, no? sbaglio?

Perché facendomi l'esempio con $sin(3x)$, mettiamo voglia svilupparlo in x=2, chiamando t=3x trovo nel punto x=2 -> t=6

Sviluppo: $sint+cost(t-6)-sint(t-6)^2=sin6+cos6(t-6)-sin6(t-6)^2$ non ho scritto i denominatori per non pasticciare, ora se scrivessi in x, avrei:

$sin6+cos6(3x-6)-sin(3x-6)^2..$

e funziona ci ho piazzato la mia g(x)=3x nuda e cruda, ma se faccio la stessa cosa con la funzione di apertura thread, no :O

[Obidream]

Non funziona, credimi

$f(x)=sin(3x)$

$f(0)=sin(3*2)=sin(6)$

$f'(0) = 3cos(3x) = 3cos(6)$

$f''(0) = -9sin(3x) = -9sin(6)$

e così via...

Quindi: $f(x) = sin(6)+3cos(6)(x-2)-9/2sin(6)(x-2)^2+o(x-2)^2$

[maion1]

Però sviluppandola come fosse in t (cambio variabile) e centrandola in in $x_0=2->t_0=6$ ovvero:

$f(t)=sin(t)$

$f(0) = sin(t)= sin(6)$

$f'(0) = cos(t) = cos(6)$

$f''(0) = -sin(t) = -sin(6)$

e così via...

$f(x) = sin(6)+cos(6)(t-6)-1/2sin(6)(t-6)^2+o(t-6)^2$

poi ripristinando la x:

$f(x) = sin(6)+cos(6)(3x-6)-1/2sin(6)(3x-6)^2+o(3x-6)^2$

che è lo sviluppo cercato, e dovrebbe essere quello che ho fatto in apertura

[Obidream]

Sì, mi ero perso tra le variabili, hai ragione: comunque quel che ti voglio dire è che dal punto di vista operativo se la tua $t$ è qualcosa che poi devi sviluppare non è che puoi fregartene. In questo caso hai $3x$ e quindi non è che puoi svilupparlo in serie, mentre $pi/(1-x)$ sì, è per quello che non funziona con la funzione in oggetto del topic.

[maion1]

"Obidream":se la tua $t$ è qualcosa che poi devi sviluppare non è che puoi fregartene

Ecco dove era l'arcano, era quel che cercavo di capire e non afferravo!!

Oddio grazie, stavo uscendone pazzo

[wsualfredo]

Il barbatrucco è che quello che pensi di aver trovato come sviluppo, all'inizio**, non è un polinomio. Alla fin fine è la stessa cosa, se te la sviluppi dopo torna, ma non è un P. di Taylor.

** tralasciando l'errore errore di segno nel $-pi$ per $x=2$

IMHO