Dubbio metodo delle rette
Salve! Ho fatto questo esercizio in cui devo trovare i punti di massimo e minimo della seguente funzione:
$f(x,y) = arctan(y^4 x)$
Trovo un punto $A(0, 0)$ e ho il determinante del hessiano nullo. A questo punto decido di usare il metodo del segno, cioè:
$f(x, y) - f(0, 0) >= 0$
siccome $f(0, 0) = 0$ ho semplicemente $f(x, y) >= 0$, cioè $arctan(y^4 x) >= 0$
Se applico la tangente si a a destra che a sinistra della disequazione mi trovo con $y^4 x >= 0$, la quale ha soluzione $AA (x, y) in RR$.
Trovo quindi che $f(x, y) >= f(0, 0)$, e cioè che il punto $A$ è un punto di minimo assoluto.
A questo punto volevo provare a rifarlo con il metodo delle rette, in cui mi dovrei trovare con la segeunte funzione:
$f(x, mx) = arctan((mx)^4 x) = arctan(mx^5)$
Ma in questo caso come dovrei procedere? Devo vedere cosa succede se $m > 0$ e se $m < 0$? (nel caso di $m = 0$ verrebbe $0$)
$f(x,y) = arctan(y^4 x)$
Trovo un punto $A(0, 0)$ e ho il determinante del hessiano nullo. A questo punto decido di usare il metodo del segno, cioè:
$f(x, y) - f(0, 0) >= 0$
siccome $f(0, 0) = 0$ ho semplicemente $f(x, y) >= 0$, cioè $arctan(y^4 x) >= 0$
Se applico la tangente si a a destra che a sinistra della disequazione mi trovo con $y^4 x >= 0$, la quale ha soluzione $AA (x, y) in RR$.
Trovo quindi che $f(x, y) >= f(0, 0)$, e cioè che il punto $A$ è un punto di minimo assoluto.
A questo punto volevo provare a rifarlo con il metodo delle rette, in cui mi dovrei trovare con la segeunte funzione:
$f(x, mx) = arctan((mx)^4 x) = arctan(mx^5)$
Ma in questo caso come dovrei procedere? Devo vedere cosa succede se $m > 0$ e se $m < 0$? (nel caso di $m = 0$ verrebbe $0$)
Risposte
attento nello studio del segno: se la x fosse negativa la disequazione non sarebbe soddisfatta.
il metodo delle rette ti permette di capire solo se il punto è di sella se non lo fosse il metodo non dice niente. per farlo devi studiare la derivata prima in una variabile.
il metodo delle rette ti permette di capire solo se il punto è di sella se non lo fosse il metodo non dice niente. per farlo devi studiare la derivata prima in una variabile.
Oh vero! Quindi ha soluzione $AA x >= 0$ e $AA y in R$, giusto?
Con studiare la derivata prima di una variabile intendi che posso decidere se studiare $f_x(x, y)$ o $f_y(x, y)$? E poi, dopo aver fatto la derivata prima, devo porre $y = mx$?
Con studiare la derivata prima di una variabile intendi che posso decidere se studiare $f_x(x, y)$ o $f_y(x, y)$? E poi, dopo aver fatto la derivata prima, devo porre $y = mx$?
si esatto.
ponendo y=mx ti riconduci ad una funzione di una variabile. nel tuo caso $ f (x, mx)=arctan(mx^5) $ che dipende solo da x e non da y. a questo punto devi però fissare uncerto m per fare i calcoli.
se trovi che il punto è di sella sei apposto, se trovi che è di massimo (o minimo, ma assumiamo per esempio che sia di massimo) devi valutare su un'altra direzione (per esempio -m). se trovi ora che il punto non è di massimo (è quindi un minimo) allora puoi ancora una volta stabilire che il punto è di sella. se non si verificano queste "condizioni" allora non puoi concludere nulla. infatti con il metodo delle rette stabilisci solo se il punto è di sella!
ponendo y=mx ti riconduci ad una funzione di una variabile. nel tuo caso $ f (x, mx)=arctan(mx^5) $ che dipende solo da x e non da y. a questo punto devi però fissare uncerto m per fare i calcoli.
se trovi che il punto è di sella sei apposto, se trovi che è di massimo (o minimo, ma assumiamo per esempio che sia di massimo) devi valutare su un'altra direzione (per esempio -m). se trovi ora che il punto non è di massimo (è quindi un minimo) allora puoi ancora una volta stabilire che il punto è di sella. se non si verificano queste "condizioni" allora non puoi concludere nulla. infatti con il metodo delle rette stabilisci solo se il punto è di sella!
Oh, capisco! Quindi è sempre meglio usare il metodo del segno che quelle delle rette, no? Ci sono casi particolari in cui uno non si può usare invece dell'altro?
in linea generale mi verrebbe da dire di si, è meglio il metodo del segno. con questo metodo arrivi sempre e comunque ad una risposta con l'altro metodo no. detto ciò a volte può essere più veloce il metodo delle rette. dipende dai casi. che io sappia no non ci sono casi in cui può essere usato e l'altro no.
Okay, grazie mille!
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