Dubbio limiti ....
Scusate.... ho lo scritto di analisi 1 domani pomeriggio.....ma mi è venuto adesso un dubbio, guardando i vecchi compiti..... Posso usare lo sviluppo di Taylor anche per calcolare un limite che tende a 1?
So che se il limite tende all'infinito, devo ricondurmi, perchè Taylor lo posso usare se il limite va a 0: ma se va a 1? Non abbiamo mai visto di questi esempi, ma ho visto che un compito c'era anni fa...... Spero che qualcuno mi risponda presto.......
Grazie in anticipo, ciao!!!
So che se il limite tende all'infinito, devo ricondurmi, perchè Taylor lo posso usare se il limite va a 0: ma se va a 1? Non abbiamo mai visto di questi esempi, ma ho visto che un compito c'era anni fa...... Spero che qualcuno mi risponda presto.......
Grazie in anticipo, ciao!!!
Risposte
con Taylor il punto in cui valuti il polinomio è qualunque 
ti ricordo che la formula è $P(x)=sum_(k=0)^nf^((k))(x_0)(x-x_0)^k/(k!)+R(x)$
se $x_0=0$ allora utilizzi i polinomi di Mc Laurin, ma son un caso particolare dello sviluppo di Taylor
edit:
esempio: calcolare $lim_(xto1)tan(x)/(x-pi/4)
ovvaimente $tanx=pi/4
allora puoi posizionarti sul punto x=1 e ottieni sviluppando al primo troncameneto col resto di peano
$tanx=sum_(k=0)^1(tan)^((k))(1)(x-1)^k/k!+R(x)=tan(1)(x-1)^0/(0!)+1/(1+1^2)(x-1)^1/(1!)+o(x)
$=pi/4+1/2(x-1)+o(x)
quindi il limite risulta $lim_(xto1)(pi/4+1/2(x-1)+o(x))/(x-pi/4)=pi/(4-pi)$
ti ricordo che la formula è $P(x)=sum_(k=0)^nf^((k))(x_0)(x-x_0)^k/(k!)+R(x)$
se $x_0=0$ allora utilizzi i polinomi di Mc Laurin, ma son un caso particolare dello sviluppo di Taylor
edit:
esempio: calcolare $lim_(xto1)tan(x)/(x-pi/4)
ovvaimente $tanx=pi/4
allora puoi posizionarti sul punto x=1 e ottieni sviluppando al primo troncameneto col resto di peano
$tanx=sum_(k=0)^1(tan)^((k))(1)(x-1)^k/k!+R(x)=tan(1)(x-1)^0/(0!)+1/(1+1^2)(x-1)^1/(1!)+o(x)
$=pi/4+1/2(x-1)+o(x)
quindi il limite risulta $lim_(xto1)(pi/4+1/2(x-1)+o(x))/(x-pi/4)=pi/(4-pi)$
Certamente, lo sviluppo di Taylor lo puoi fare dove ci sono le condizioni che lo permettono.
Avrai uno sviluppo del tipo:
$f(x) = a_0 + a_1 (x-1) + a_2 (x-1)^2 + a_3 (x-1)^3 + ...$
Puoi vedere la situazione anche nel modo seguente (geometrico):
stai guardando la tua funzione in un nuovo punto, e la tua nuova origine
si trova nel punto $(1;0)$ e quindi la nuova coordinata $x$ è uguale a
quella vecchia (cioè la $x$) diminuita di $1$, cioè hai $x-1$ come variabile
nel tuo sviluppo di Taylor.
Avrai uno sviluppo del tipo:
$f(x) = a_0 + a_1 (x-1) + a_2 (x-1)^2 + a_3 (x-1)^3 + ...$
Puoi vedere la situazione anche nel modo seguente (geometrico):
stai guardando la tua funzione in un nuovo punto, e la tua nuova origine
si trova nel punto $(1;0)$ e quindi la nuova coordinata $x$ è uguale a
quella vecchia (cioè la $x$) diminuita di $1$, cioè hai $x-1$ come variabile
nel tuo sviluppo di Taylor.
Salve. Comunque, in linea teorica, una funzione può essere sviluppata con Taylor in qualsiasi punto (anche se dopo con i calcoli, la vita si complica in maniera esponenziale) purché sia derivabile n+1 volte nell'intorno del punto in questione. Se il limite non tende a zero o a infinito puoi provare a ricondurti a limiti notevoli oppure a cambi di variabile in modo da sistemare in maniera fattibile l'esercizio. In seguito, a seconda delle modalità sceglierai il modo di risolvere il problema.
L'importante è non farsi prendere dal panico!
Ciao
L'importante è non farsi prendere dal panico!
Ciao
In modo del tutto equivalente puoi traslare a sinistra di una unità la tua funzione, fai lo
sviluppo in $x=0$ e poi trasli a destra la serie di Taylor ottenuta.
In ogni caso ti basta saper sviluppare in un punto, negli altri punti te la cavi con
una traslazione inziale e con una traslazione finale.
sviluppo in $x=0$ e poi trasli a destra la serie di Taylor ottenuta.
In ogni caso ti basta saper sviluppare in un punto, negli altri punti te la cavi con
una traslazione inziale e con una traslazione finale.
"franced":
In modo del tutto equivalente puoi traslare a sinistra di una unità la tua funzione, fai lo
sviluppo in $x=0$ e poi trasli a destra la serie di Taylor ottenuta.
In ogni caso ti basta saper sviluppare in un punto, negli altri punti te la cavi con
una traslazione inziale e con una traslazione finale.
Non so ancora cosa siano le traslazioni ... è una prova in itinere, il programma di analisi non lo abbiamo finito, abbiamo appena iniziato le derivate.... dobbiamo solo calcolare un limite con taylor usando gli o piccoli..... le traslazioni cosa sarebbero?
io avevo capito che giorgi intendesse un'altra cosa, ad esempio:
se ho $lim_(x->0)cos(sin(x))$ posso sviluppare il coseno e dire che il limite è uguale a $1-(1/2)sin^2(x)$, e questo è possibile farlo poichè $lim_(x->0)sin(x)=0$ cioè poichè il seno è infinitesimo in zero.
però se ho $lim_(x->0)sin(cos(x))$ non posso sviluppare il seno, come è facile verificare con due calcolini, proprio perchè il coseno in zero non è infinitesimo.
io avevo capito che la tua domanda si riferisse a questo...
se ho $lim_(x->0)cos(sin(x))$ posso sviluppare il coseno e dire che il limite è uguale a $1-(1/2)sin^2(x)$, e questo è possibile farlo poichè $lim_(x->0)sin(x)=0$ cioè poichè il seno è infinitesimo in zero.
però se ho $lim_(x->0)sin(cos(x))$ non posso sviluppare il seno, come è facile verificare con due calcolini, proprio perchè il coseno in zero non è infinitesimo.
io avevo capito che la tua domanda si riferisse a questo...
"e^iteta":
io avevo capito che giorgi intendesse un'altra cosa, ad esempio:
se ho $lim_(x->0)cos(sin(x))$ posso sviluppare il coseno e dire che il limite è uguale a $1-(1/2)sin^2(x)$, e questo è possibile farlo poichè $lim_(x->0)sin(x)=0$ cioè poichè il seno è infinitesimo in zero.
però se ho $lim_(x->0)sin(cos(x))$ non posso sviluppare il seno, come è facile verificare con due calcolini, proprio perchè il coseno in zero non è infinitesimo.
io avevo capito che la tua domanda si riferisse a questo...
No avevo chiesto solo se posso sviluppare con Taylor anche se limite tende a 1, normalmente, senza ricondurmi a 0 come faccio quando il limite tende a infinito
"Giorgia":
No avevo chiesto solo se posso sviluppare con Taylor anche se limite tende a 1, normalmente, senza ricondurmi a 0 come faccio quando il limite tende a infinito
Prova a postare il testo dell'esercizio: almeno potremo esserti più utili nel caso particolare, poi passeremo ad una generalizzazione appropriata.
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