Dubbio limite in coordinate polari
supponiamo di dover dimostrare che esiste un $lim_{(x,y)->oo} f(x,y)$
un metodo che si puo' considerare e' quello di prendere $x = R*cos(\theta)$ e $y = R * sin(\theta)$ con $R->oo$
quello che non mi e' chiaro e':
il limite che poi devo considerare e' con $\theta -> \theta_{0}$ per $theta_{0} in [0, 2\pi)$
oppure con $theta$ numero fissato in $[0, 2\pi)$ ??
Nel secondo caso potrei eliminare casi di indecisione dividendo in sotto-casi il valore di $\theta$: se $\theta$ e' ... allora ... altrimenti ....
Nel primo caso posso solo cercare un'espressione di $f(R, \theta)$ che sia confrontabile con una $g(R)$
A rigor di logica io direi che non posso considerare un $\theta$ fissato perche' devo considerare _qualsiasi_ modo di tendere al punto di accumulazione e quindi, ad esempio, anche con un qualsiasi $theta(t)$. E' corretto?
un metodo che si puo' considerare e' quello di prendere $x = R*cos(\theta)$ e $y = R * sin(\theta)$ con $R->oo$
quello che non mi e' chiaro e':
il limite che poi devo considerare e' con $\theta -> \theta_{0}$ per $theta_{0} in [0, 2\pi)$
oppure con $theta$ numero fissato in $[0, 2\pi)$ ??
Nel secondo caso potrei eliminare casi di indecisione dividendo in sotto-casi il valore di $\theta$: se $\theta$ e' ... allora ... altrimenti ....
Nel primo caso posso solo cercare un'espressione di $f(R, \theta)$ che sia confrontabile con una $g(R)$
A rigor di logica io direi che non posso considerare un $\theta$ fissato perche' devo considerare _qualsiasi_ modo di tendere al punto di accumulazione e quindi, ad esempio, anche con un qualsiasi $theta(t)$. E' corretto?
Risposte
Sia L il candidato limite... devi vdere che per ogni $\epsilon$, esiste un $R$, t.c. se $r>R$ (e per ogni $\theta$!!!!), allora:
$|f(r sin(\theta),r cos(\theta)-L|<=\epsilon$
quindi non puoi fissare un $\theta$...
in realtà poi non capisco il senso del tuo $\theta_0$...
$|f(r sin(\theta),r cos(\theta)-L|<=\epsilon$
quindi non puoi fissare un $\theta$...
in realtà poi non capisco il senso del tuo $\theta_0$...
fissare $\theta$ e fare il lim per $R$ che tende all'infinito equivale a fare il lim (all'infinito) su una semiretta uscente dall'origine
che questo lim esista per ogni $\theta$ e inoltre non dipenda da $\theta$ è condizione necessaria affinché esista $lim_{(x,y)->oo} f(x,y)$
Non è però sufficiente
Ad esempio, se nel passo precedente hai trovato che il limite vale $L$ su tutte le semirette, per avere che il lim è uguale a $L$ occorre verificare che:
$lim_{R-> + oo} \text{sup} { \ | f(R \cos(\theta), R \sin(\theta)) - L | \ \ : \ \ \theta \in [0, 2 \pi] } = 0$
buon divertimento
che questo lim esista per ogni $\theta$ e inoltre non dipenda da $\theta$ è condizione necessaria affinché esista $lim_{(x,y)->oo} f(x,y)$
Non è però sufficiente
Ad esempio, se nel passo precedente hai trovato che il limite vale $L$ su tutte le semirette, per avere che il lim è uguale a $L$ occorre verificare che:
$lim_{R-> + oo} \text{sup} { \ | f(R \cos(\theta), R \sin(\theta)) - L | \ \ : \ \ \theta \in [0, 2 \pi] } = 0$
buon divertimento
grazie per i chiarimenti
il diavoletto calza a pennello perche' sto trovando che non e' sempre facilissimo confrontare una funzioni in 2 variabili con un'altra dall'andamento noto...
il diavoletto calza a pennello perche' sto trovando che non e' sempre facilissimo confrontare una funzioni in 2 variabili con un'altra dall'andamento noto...
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