Dubbio limite di funzione composta e continuità
Salve, ho da poco studiato il teorema per fare un limite di una funzione composta (il limite della funzione composta è uguale al limite della funzione più esterna calcolato nel punto di accumulazione che è il limite della funzione più interna) e quindi per esempio, in
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\ \cos({{3}\over{e^{x}}})$$
calcolo prima il limite a +infinito di 3/e^x, risultato 0
e poi calcolo $$\lim_{y\rightarrow 0}\ \cos(y)$$
risultato finale 1.
La mia domanda è questa: sapendo che si tratta di funzioni continue posso sostituire subito +infinito in \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\ \cos({{3}\over{e^{x}}}) \] e calcolare il limite da dex verso sx senza sostituire la variabile nel punto di accumulazione? Ma se si potesse fare così, mi chiedo a cosa serva questo teorema se basta sostituire da dx verso sx e calcolare tutto in un colpo solo...
Spero di essermi spiegato bene e che qualcuno possa illuminarmi. Grazie e buona matematica!
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\ \cos({{3}\over{e^{x}}})$$
calcolo prima il limite a +infinito di 3/e^x, risultato 0
e poi calcolo $$\lim_{y\rightarrow 0}\ \cos(y)$$
risultato finale 1.
La mia domanda è questa: sapendo che si tratta di funzioni continue posso sostituire subito +infinito in \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\ \cos({{3}\over{e^{x}}}) \] e calcolare il limite da dex verso sx senza sostituire la variabile nel punto di accumulazione? Ma se si potesse fare così, mi chiedo a cosa serva questo teorema se basta sostituire da dx verso sx e calcolare tutto in un colpo solo...
Spero di essermi spiegato bene e che qualcuno possa illuminarmi. Grazie e buona matematica!
Risposte
"Sostituire $+oo$"? E che è, un numero?
E come sarebbe definita la continuità in $+oo$?
E cosa significherebbe il limite in $+oo$ da destra?
E come sarebbe definita la continuità in $+oo$?
E cosa significherebbe il limite in $+oo$ da destra?
Ciao, intendevo sostituire +oo in e^x e da destra verso sinistra cioè facendo prima il risultato della frazione e poi cos (che è la funzione a sinistra)...in questo modo non dovrei cambiare variabile...ma in pratica a me interessa sapere quando bisogna applicare questo teorema della funzione composta e quando invece si sostituisce subito il valore in tutta la funzione perché essa è continua...
@Liiibbb In matematica, tolti assiomi e definizioni, tutto va dimostrato.
"Bokonon":
@Liiibbb In matematica, tolti assiomi e definizioni, tutto va dimostrato.
non capisco a cosa ti riferisci...
"Liiibbb":
se si potesse fare così, mi chiedo a cosa serva questo teorema se basta sostituire da dx verso sx e calcolare tutto in un colpo solo...
Il teorema dimostra appunto che puoi scrivere $lim_(x->oo) cos(3/e^x)=cos(3*lim_(x->oo) 1/e^x)$
@Liiibbb: la tua sembra più una domanda di metodo, in realtà stai chiedendo "devo proprio fare tutto questo casino di scrivere $y=e^{-x}$ etc etc..., ogni volta?". La risposta è sia si, sia no. Per il momento, io ti consiglio di farlo, attenendoti strettamente al teorema. Con l'uso, acquisirai sveltezza e maturità e potrai scrivere direttamente il risultato. Ma per il momento, anche se ti sembra di perdere tempo con passaggi inutili, falli.
"Bokonon":
[quote="Liiibbb"] se si potesse fare così, mi chiedo a cosa serva questo teorema se basta sostituire da dx verso sx e calcolare tutto in un colpo solo...
Il teorema dimostra appunto che puoi scrivere $lim_(x->oo) cos(3/e^x)=cos(3*lim_(x->oo) 1/e^x)$[/quote]
il teorema della funzione composta dice un'altra cosa...secondo me non hai capito la mia domanda perché non capisco cosa c'entri quello che hai scritto.
"dissonance":
@Liiibbb: la tua sembra più una domanda di metodo, in realtà stai chiedendo "devo proprio fare tutto questo casino di scrivere $y=e^{-x}$ etc etc..., ogni volta?". La risposta è sia si, sia no. Per il momento, io ti consiglio di farlo, attenendoti strettamente al teorema. Con l'uso, acquisirai sveltezza e maturità e potrai scrivere direttamente il risultato. Ma per il momento, anche se ti sembra di perdere tempo con passaggi inutili, falli.
Va bene, ma la mia domanda era che se ho una funzione continua basterebbe sostituire e basta senza pensare al teorema della funzione composta, alla variabile da cambiare e al nuovo punto di accumulazione; cioè tu quando hai una funzione composta come procedi?
Cosa vuol dire "sostituire $+oo$"?
$+ oo$ non è un numero!
$+ oo$ non è un numero!
"gugo82":
Cosa vuol dire "sostituire $+oo$"?
$+ oo$ non è un numero!
intendo che sostituisco +oo alla x di e^x e mi viene 3/00 che fa 0 e qundi poi non resta che calcolare cos(0)...
"Liiibbb":
[quote="gugo82"]Cosa vuol dire "sostituire $+oo$"?
$+ oo$ non è un numero!
intendo che sostituisco +oo alla x di e^x e mi viene 3/00 che fa 0 e qundi poi non resta che calcolare cos(0)...[/quote]
Il che è sbagliato.
Perché è sbagliato? Forse intendi che in realtà si dice che e^x tende a più infinito quando x tende a più infinito?
"Liiibbb":
Forse intendi che in realtà si dice che e^x tende a più infinito quando x tende a più infinito?
No, per nulla.
"Liiibbb":
Perché è sbagliato?
Cosa vuol dire "sostituire in una funzione"?
Che cosa si sostituisce al posto di cosa?
"Liiibbb":
il teorema della funzione composta dice un'altra cosa...secondo me non hai capito la mia domanda perché non capisco cosa c'entri quello che hai scritto.
Guarda che ho solo semplificato:
$lim_(x->oo) cos(3/e^x)=lim_(x->?) cos(3*lim_(x->oo) 1/e^x=?)=lim_(x->0) cos(0)=1$
Puoi scriverlo separando le funzioni se vuoi (e in effetti è giusto farlo e verifichi pure che soddisfino il teorema) ma il concetto resta identico.
"Bokonon":
[quote="Liiibbb"]
il teorema della funzione composta dice un'altra cosa...secondo me non hai capito la mia domanda perché non capisco cosa c'entri quello che hai scritto.
Guarda che ho solo semplificato:
$lim_(x->oo) cos(3/e^x)=lim_(x->?) cos(3*lim_(x->oo) 1/e^x=?)=lim_(x->0) cos(0)=1$
Puoi scriverlo separando le funzioni se vuoi (e in effetti è giusto farlo e verifichi pure che soddisfino il teorema) ma il concetto resta identico.[/quote]
Ah ecco, tu cambi il punto di accumulazione come dice il teorema...ora ho capito grazie.
"gugo82":
[quote="Liiibbb"]Forse intendi che in realtà si dice che e^x tende a più infinito quando x tende a più infinito?
No, per nulla.
"Liiibbb":
Perché è sbagliato?
Cosa vuol dire "sostituire in una funzione"?
Che cosa si sostituisce al posto di cosa?[/quote]
Mi spiegheresti dove sbaglio?...io "sostituisco" + infinito nel senso che vedo cosa fa e^x quando x tende a +infinito...
"Liiibbb":
nel senso che vedo cosa fa $e^(-x)$ quando x tende a +infinito...
Ho apportato giusto una piccola correzione nel quote.
E perchè non scrivi questo invece di "sostituisco"? (lo so che a scuola insegnano così...)
Capisco...allora il mio errore era dire che sostituivo +oo anche se in realtà non lo facevo...cioè non bisogna sostituire ma vedere il comportamento della funzione al tendere di x a +oo...giusto?
Sì, ok... Ma la domanda resta:
"gugo82":
Cosa vuol dire "sostituire in una funzione"?
Che cosa si sostituisce al posto di cosa?
"gugo82":[/quote]
Sì, ok... Ma la domanda resta:
[quote="gugo82"]Cosa vuol dire "sostituire in una funzione"?
Che cosa si sostituisce al posto di cosa?
Forse da te ho imparato che i numeri (punti di accumulazione numerici) si possono sostituire, in un limite, in una funzione al posto della x, sempre se la funzione è continua, mentre non si può sostituire alla x infinito...vero?
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