Dubbio limite con logaritmo
Salve, innanzitutto ciao a tutti, sono nuovo 
Volevo porvi il mio problema, dopo aver ricercato nel forum: non riesco a risolvere un limite in maniera rigorosa, anche se ragionando sulla gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi mi pare che il limite sia zero. Ho anche ricercato il motivo nel libro di testo Salsa, Pagani, Bramanti, ma senza risultati. L'esercizio in questione è: $ lim_(x -> 0 ) x^2root(3)(log(x)) $
Essendo il limite del logaritmo per x--> 0 meno infinito e il limite di x^2 per x-->0 è zero, mi trovo davanti ad una forma di indecisione. Ora però nn riesco a trovare una forma diversa per la funzione e poterla studiare meglio. Grazie in anticipo
Volevo porvi il mio problema, dopo aver ricercato nel forum: non riesco a risolvere un limite in maniera rigorosa, anche se ragionando sulla gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi mi pare che il limite sia zero. Ho anche ricercato il motivo nel libro di testo Salsa, Pagani, Bramanti, ma senza risultati. L'esercizio in questione è: $ lim_(x -> 0 ) x^2root(3)(log(x)) $ Essendo il limite del logaritmo per x--> 0 meno infinito e il limite di x^2 per x-->0 è zero, mi trovo davanti ad una forma di indecisione. Ora però nn riesco a trovare una forma diversa per la funzione e poterla studiare meglio. Grazie in anticipo
Risposte
Non mi sono ancora arreso e ho provato a fare una sostituzione di variabile imponendo che $ t = 1/ x $ ottenendo quindi che $ x = 1 / t $. Con alcuni passaggi e per le proprietà del logaritmo ottengo $ lim_(t -> oo ) root(3)(-log t) / t^2 $, dato che essendo x --> 0 allora t tende a infinito. Per il confronto fra infiniti dovrei ottenere zero, giusto?
Sì.
Ciao!
In genere per forme indeterminate del tipo $ 0 *oo $ può essere utile ricondursi a rapporto di funzioni in modo da applicare il teorema di De l'Hopital. Per esempio nel tuo caso potrei suggerirti di scrivere la funzione nella forma $ lim_(x -> 0) root(3)(logx) / (1/x^2) $ . Prova quindi ad applicare de l'hopital e vedi un pò come va.
In genere per forme indeterminate del tipo $ 0 *oo $ può essere utile ricondursi a rapporto di funzioni in modo da applicare il teorema di De l'Hopital. Per esempio nel tuo caso potrei suggerirti di scrivere la funzione nella forma $ lim_(x -> 0) root(3)(logx) / (1/x^2) $ . Prova quindi ad applicare de l'hopital e vedi un pò come va.
non avevo letto la tua soluzione... credo sia più semplice della mia! ciao
Per Rigel: grazie mille per la conferma quindi ovviamente ripeterò lo stesso ragionamento per lo stesso limite (parlo di quello originele) con x che tende e più infinito?
Per Zilpha: grazie per il consiglio, ho provato anche in quella maniera, però derivando diciamo che i calcoli so complicano un pò, dato che il numeratore è una funzione composta. Grazie ancora comunque a entrambi
quindi ovviamente ripeterò lo stesso ragionamento per lo stesso limite (parlo di quello originele) con x che tende e più infinito?Per Zilpha: grazie per il consiglio, ho provato anche in quella maniera, però derivando diciamo che i calcoli so complicano un pò, dato che il numeratore è una funzione composta. Grazie ancora comunque a entrambi
Se vuoi calcolare il limite usando la regola di L'Hopital, puoi procedere come segue.
Supponiamo di voler calcolare il limite
$\lim_{x\to +\infty} \frac{(\log x)^a}{x^b}$, con $a,b > 0$.
Abbiamo che $\frac{(\log x)^a}{x^b} = (\frac{\log x}{x^c})^a$, con $c=b/a > 0$; inoltre
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\log x}{x^c} = 0$,
come si può dimostrare applicando (senza difficoltà) la regola di L'Hopital.
Poiché $\lim_{y\to 0+} y^a = 0$ (essendo $a>0$), possiamo concludere che
$\lim_{x\to +\infty} (\frac{\log x}{x^c})^a = 0$.
Supponiamo di voler calcolare il limite
$\lim_{x\to +\infty} \frac{(\log x)^a}{x^b}$, con $a,b > 0$.
Abbiamo che $\frac{(\log x)^a}{x^b} = (\frac{\log x}{x^c})^a$, con $c=b/a > 0$; inoltre
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\log x}{x^c} = 0$,
come si può dimostrare applicando (senza difficoltà) la regola di L'Hopital.
Poiché $\lim_{y\to 0+} y^a = 0$ (essendo $a>0$), possiamo concludere che
$\lim_{x\to +\infty} (\frac{\log x}{x^c})^a = 0$.
Grazie mille per l'ottima spiegazione. Ma il tuo esempio era in senso generale, giusto? Perchè nel mio caso dovendo calcolare il limite per x che tende a più infinito, mi ritrovo $ lim_(t -> 0) root(3)(-log (x))/ t^2 $ dato che t=1/x e x=1/t e ovviamente t tende a zero, proprio per rispettare il fatto che nel limite originale x tente a più infinito. Ora eseguendo il confronto tra le gerarchie di infiniti fra numeratore e denominatore ottengo $ (+oo) / 0 $ e quindi il limite tende a più infinito (correggimi pure se dico falsità). Quindi teoricamente dovrei avere $ lim_(x -> oo ) root(3)(log(x))/ (1/x^2) = +oo $ giusto?
"Civile":
Quindi teoricamente dovrei avere $ lim_(x -> oo ) root(3)(log(x))/ (1/x^2) = +oo $ giusto?
Sì, ma in questo caso non c'è indeterminazione (puoi scriverlo come prodotto di $x^2$ e $root(3)(\log(x))$, ed entrambe le funzioni divergono a $+\infty$ quando $x\to +\infty$).
Si hai ragione, dato che infinito per infinito non dà luogo a indeterminazione, e quindi per $ x rarr +oo $ il limite è + $ oo $. Grazie mille per il chiarimento
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo