Dubbio limite

[lucacasalma]

ho riscritto il limite per vederlo meglio, ho raccolto x^2 nel LOG e, preso da wolfram, ottengo :

[img]http://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP42541hhgb2i5dbe59b2300002cbh68hf2ci6b8ib?MSPStoreType=image/gif&s=26&w=160.&h=83.[/img]

quello che non capisco è come possa tendere a 0 il logaritmo :

[img]http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP35911g3ba22c3i973918000047f60537a0hac9c6?MSPStoreType=image/gif&s=10&w=161.&h=57.[/img]

poi, se, per wolfram, il logaritmo risulta "0", come mai se calcolo

[img]http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP76871g7926fda4dg2g1d00001h1gge99i3i90645?MSPStoreType=image/gif&s=58&w=114.&h=47.[/img]

mi risulta -inf e non -1?

[HaldoSax]

Ciao lucacasalma dalle proprietà dei logaritmi sai che $log(a/b)=log(a)-log(b)$ poi utilizzi gli sviluppi di Taylor del logaritmo.

[lucacasalma]

okok, quello non è un problema, ma proprio non capisco come faccia il limite finale ad essere diverso :\

[lucacasalma]

cioè, la soluzione finale è :

$ lim x-> +INF ln((x^2(1+2/x^2))/(x^2(1+3/x^2)))/(1/x^2) = -1 $

però non capisco come mai se :

$ lim x->+INFln((x^2(1+2/x^2))/(x^2(1+3/x^2))) =0 $

sostituendo mi risulta cosi :

$ lim x->+INF 0/(1/x^2)=0 $

io ho semplicemente sostituito ma non risulta :\

[HaldoSax]

Se osservi bene hai una forma indeterminata $0/0$ che si può calcolare ad esempio con gli sviluppi di Taylor, sviluppando il numeratore e il denominatore.

[HaldoSax]

Questo è il codice per i limiti

\lim_{x\to +\infty}ln(..)

[lucacasalma]

si ma quello che non capisco è :
se ho $ lim x->INF f(x)/g(x)=Q $ (in questo caso Q= 0), come mai $ lim x->INF Q/g(x) $ non risulta Q ma un altra cosa?

[HaldoSax]

L'errore che commetti è il seguente, tu scrivi che:

\begin{equation}
\lim_{x \to +\infty} \frac{0}{\frac{1}{x^2}}=0
\end{equation}

Ma è proprio qui l'errore. Analizziamo il limite:

\begin{equation}
\lim_{x \to +\infty} \frac{log(\frac{x^2(1+\frac{2}{x^2})}{x^2(1+\frac{3}{x^2})})}{\frac{1}{x^2}}
\end{equation}

Numeratore:

\begin{equation}
\lim_{x \to +\infty} log(\frac{x^2(1+\frac{2}{x^2})}{x^2(1+\frac{3}{x^2})})=0
\end{equation}

Denominatore:

\begin{equation}
\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2}=\frac{1}{+\infty}=0
\end{equation}

Quindi il limite della frazione è:

\begin{equation}
\lim_{x \to +\infty} \frac{log(\frac{x^2(1+\frac{2}{x^2})}{x^2(1+\frac{3}{x^2})})}{\frac{1}{x^2}}=\frac{0}{0}
\end{equation}

Quanto vale questo limite? non si sa, un modo è quello di usare gli sviluppi di Taylor. Spero di essere stato chiaro

[HaldoSax]

Rispondo adesso alla tua domanda generica, perché dipende dal valore che assume $g(x)$.
Esempio: $\lim_{x \to \infty} f(x)/g(x)=2$ quello che tu affermi è che $\lim_{x \to \infty} 2/g(x)=2$ ma in generale non è vera. In quanto $g(x)$ potrebbe tendere a $\infty$ e quindi il limite tendere a $0$, $g(x)$ potrebbe tendere a $0$ e quindi il limite tendere a $\infty$. E altri milioni di casi

[lucacasalma]

siete grandi, ho capito tutto, troppo gentili!

[HaldoSax]