Dubbio limite
Buonasera ragazzi,non riesco a capire perchè questo limite è asintoticamente equivalente a $2/3x$
Il limite è il seguente:
$lim_(x->+ infty)(root(3)(x^3+2x)/x-1)$
Grazie in anticipo.
Il limite è il seguente:
$lim_(x->+ infty)(root(3)(x^3+2x)/x-1)$
Grazie in anticipo.
Risposte
...ma il limite non dovrebbe essere nullo?
Saluti.
Saluti.
Allora il limite iniziale in realtà è il seguente:
$lim_(x->+ infty)(root(3)(x^3+2x)-x)$
mettendo in evidenza la x
viene $lim_(x->+ infty)x*(root(3)(x^3+2x)/x-1)$
e quindi poi il mio professore ha scritto che
$(root(3)(x^3+2x)/x-1)$ $~=$ $2/3x$
e quindi $lim_(x->+ infty)x*(root(3)(x^3+2x)/x-1)=2/3$
io non ho capito il passaggio dove dice che $(root(3)(x^3+2x)/x-1)$ $~=$ $2/3x$
$lim_(x->+ infty)(root(3)(x^3+2x)-x)$
mettendo in evidenza la x
viene $lim_(x->+ infty)x*(root(3)(x^3+2x)/x-1)$
e quindi poi il mio professore ha scritto che
$(root(3)(x^3+2x)/x-1)$ $~=$ $2/3x$
e quindi $lim_(x->+ infty)x*(root(3)(x^3+2x)/x-1)=2/3$
io non ho capito il passaggio dove dice che $(root(3)(x^3+2x)/x-1)$ $~=$ $2/3x$
Quel limite fa zero. Controlla meglio gli appunti.
...direi che qualcosa non quadra.
Intuitivamente affermerei che l'espressione $root(3)(x^3+2x)$ dovrebbe avere, all'infinito, lo stesso comportamento di $x$, quindi anche quest'ultimo limite dovrebbe essere nullo.
Provo a risolvere il limite usando un'altra strada, più laboriosa, ma più sicura:
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)=lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)*(root(3)((x^3+2x)^2)+xroot(3)(x^3+2x)+x^2)/(root(3)((x^3+2x)^2)+xroot(3)(x^3+2x)+x^2)$
Il motivo dell'ultimo passaggio è quello di sfruttare, al numeratore, l'uguaglianza
$(a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ (regola "del falso quadrato")
quindi
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)=lim_(x->+oo)((x^3+2x)-x^3)/(root(3)(x^6+4x^4+4x^2)+xroot(3)(x^3+2x)+x^2)$
cioè
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)=lim_(x->+oo)(2x)/(xroot(3)(x^3+4x+4/x)+xroot(3)(x^3+2x)+x^2)$
e, finalmente, si ha:
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)=lim_(x->+oo)2/(root(3)(x^3+4x+4/x)+root(3)(x^3+2x)+x)=0$.
Spero di non aver sbagliato i conti.
Saluti.
Intuitivamente affermerei che l'espressione $root(3)(x^3+2x)$ dovrebbe avere, all'infinito, lo stesso comportamento di $x$, quindi anche quest'ultimo limite dovrebbe essere nullo.
Provo a risolvere il limite usando un'altra strada, più laboriosa, ma più sicura:
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)=lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)*(root(3)((x^3+2x)^2)+xroot(3)(x^3+2x)+x^2)/(root(3)((x^3+2x)^2)+xroot(3)(x^3+2x)+x^2)$
Il motivo dell'ultimo passaggio è quello di sfruttare, al numeratore, l'uguaglianza
$(a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ (regola "del falso quadrato")
quindi
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)=lim_(x->+oo)((x^3+2x)-x^3)/(root(3)(x^6+4x^4+4x^2)+xroot(3)(x^3+2x)+x^2)$
cioè
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)=lim_(x->+oo)(2x)/(xroot(3)(x^3+4x+4/x)+xroot(3)(x^3+2x)+x^2)$
e, finalmente, si ha:
$lim_(x->+oo)(root(3)(x^3+2x)-x)=lim_(x->+oo)2/(root(3)(x^3+4x+4/x)+root(3)(x^3+2x)+x)=0$.
Spero di non aver sbagliato i conti.
Saluti.
Sono d'accordo.Ha sbagliato il professore allora.
Probabile, però prima di affermare una cosa del genere con certezza, dovresti seguire il consiglio di dan95:
Ad ogni modo, al di là del "problema della ricerca del colpevole", l'importante è che tutto ti sia chiaro, ora.
Saluti.
"dan95":
Quel limite fa zero. Controlla meglio gli appunti.
Ad ogni modo, al di là del "problema della ricerca del colpevole", l'importante è che tutto ti sia chiaro, ora.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo