Dubbio ipotesi integrazione Riemann:continuità,limitatezza

[hee136]

Considero una $f(x)$ limitata in $[a,b] sub R$
Considero P che è una partizione di $[a,b]$ definita dai punti $x_0-=a
Definisco $m_k=$ inf ${f(x) : x in [x_(k-1),x_k]}$ , Estremo inferiore di ogni intervallo
Definisco $M_k=$ sup ${f(x) : x in [x_(k-1),x_k]}$ , Estremo superiore di ogni intervallo

Definisco $s=\sum_{k=1}^n m_k * (x_k - x_(k-1))$ , somma integrale inferiore
Definisco $S=\sum_{k=1}^n M_k * (x_k - x_(k-1))$ , somma integrale superiore

$\lim_{n \to \infty} s$ = $\lim_{n \to \infty} S$ , n=numero degli intervalli
Facendo tendere il numero degli intervalli a +00, si restringeranno gli intervalli e $m_k$ tenderà a coincidere con $M_k$ poichè in ogni intervallo le variozioni di f(x) saranno minime.

Quando queste quantità coincideranno, questa quantità si definisce integrale di f(x) secondo Riemann esteso ad [a,b]

-----------------------------------------------------------------

Punti non chiari:
1)Come mai non è richiesta l'ipotesi di continuità. (questo non l'ho capito)

Per esempio, provo a calcolare l'integrale di $f(x)=sqrt(x)$ esteso a [-2,2] utilizzando la definizione.
Partiziono la funzione in 4 intervalli definiti dai punti $a-=x_0=-2 , x_1=-1 , x_2=0, x_3=1 , x_4=2$.
Provo a calcolare $m_1$ (cioè l'estremo inferiore di $f(x)$ in $[x_0, x_1]$
Qui la funzione non essendo definita, cosa uso come estremo inferiore?


2)Come mai è richiesta l'ipotesi di limitatezza di f(x). (questo penso di averlo capito ma non so se è giusto)

Quando provo a calcolare $M_k$ in un intervallo in cui la funzione è non limitata, c'è il rischio che anche $M_k -> 00$ e di conseguenza anche la somma integrale superiore. Di conseguenza non si riuscirebbe a calcolare l'area

[ViciousGoblin]

Considero una $f(x)$ limitata in $[a,b] sub R$
Considero P che è una partizione di $[a,b]$ definita dai punti $x_0-=a
Definisco $m_k=$ inf ${f(x) : x in [x_(k-1),x_k]}$ , Estremo inferiore di ogni intervallo
Definisco $M_k=$ sup ${f(x) : x in [x_(k-1),x_k]}$ , Estremo superiore di ogni intervallo

Definisco $s=\sum_{k=1}^n m_k * (x_k - x_(k-1))$ , somma integrale inferiore
Definisco $S=\sum_{k=1}^n M_k * (x_k - x_(k-1))$ , somma integrale superiore

$\lim_{n \to \infty} s$ = $\lim_{n \to \infty} S$ , n=numero degli intervalli
Facendo tendere il numero degli intervalli a +00, si restringeranno gli intervalli e $m_k$ tenderà a coincidere con $M_k$ poichè in ogni intervallo le variozioni di f(x) saranno minime.

BRUTTO -sei sicuro che sia stato fatto così ? Per quanto l'idea di fondo sia quella, non si può fare il limite che dici ( a meno di non introdurre una nozione di limite più complicata).
Di solito si prende l'estremo superiore di tutte le somme inferiori e l'estremo inferiore di tutte le somme superiori - se questi due numeri (che esistono sicuramente) coincidono
si dice che la funzione è integrabile. Un fatto da capire qui è che non per tutte le funzioni limitate l'integrale ha senso - se la funzione è molto "cattiva" l'approssimazione da sopra e quella da sotto
possono dare risultati diversi

Quando queste quantità coincideranno, questa quantità si definisce integrale di f(x) secondo Riemann esteso ad [a,b]

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Punti non chiari:
1)Come mai non è richiesta l'ipotesi di continuità. (questo non l'ho capito)



Per esempio, provo a calcolare l'integrale di $f(x)=sqrt(x)$ esteso a [-2,2] utilizzando la definizione.
Partiziono la funzione in 4 intervalli definiti dai punti $a-=x_0=-2 , x_1=-1 , x_2=0, x_3=1 , x_4=2$.
Provo a calcolare $m_1$ (cioè l'estremo inferiore di $f(x)$ in $[x_0, x_1]$
Qui la funzione non essendo definita, cosa uso come estremo inferiore?

La continuità non serve! Tra l'altro nemmeno tu hai preso come ipotesi che $f$ sia continua. E' invece un teorema successivo che ogni funzione continua su $[a,b]$ è integrabile, cioè che le somme superiori e le somme inferiori
si" avvicinano indefinitamente " tra loro

2)Come mai è richiesta l'ipotesi di limitatezza di f(x). (questo penso di averlo capito ma non so se è giusto)

Quando provo a calcolare $M_k$ in un intervallo in cui la funzione è non limitata, c'è il rischio che anche $M_k -> 00$ e di conseguenza anche la somma integrale superiore. Di conseguenza non si riuscirebbe a calcolare l'area

Hai colto il punto! - se $f$ non è limitata gli $M_k$/$m_k$ possono venire $+\infty$/$-\infty$ e quindi sei nei guai.

[hee136]

"ViciousGoblinEnters":
BRUTTO -sei sicuro che sia stato fatto così ? Per quanto l'idea di fondo sia quella, non si può fare il limite che dici ( a meno di non introdurre una nozione di limite più complicata).
Di solito si prende l'estremo superiore di tutte le somme inferiori e l'estremo inferiore di tutte le somme superiori - se questi due numeri (che esistono sicuramente) coincidono
si dice che la funzione è integrabile. Un fatto da capire qui è che non per tutte le funzioni limitate l'integrale ha senso - se la funzione è molto "cattiva" l'approssimazione da sopra e quella da sotto
possono dare risultati diversi

A dire la verità a lezione abbiamo fatto come hai detto tu, ma io ora ho postato quello (che ho trovato sul libro del liceo) perchè mi sembrava più chiaro. (a dire la verità ho capito cosa vuol dire, ma non saprei come svolgere la sommatoria fino a infinito)

"ViciousGoblinEnters":
La continuità non serve! Tra l'altro nemmeno tu hai preso come ipotesi che $f$ sia continua. E' invece un teorema successivo che ogni funzione continua su $[a,b]$ è integrabile, cioè che le somme superiori e le somme inferiori
si" avvicinano indefinitamente " tra loro

Io non l'ho messa come ipotesi perchè a lezione non l'abbiamo messa, solo che mi sono accorto di non aver capito il motivo per cui non l'abbiamo messa.

EDIT: per caso si suppone che nel momento in cui si deve calcolare un integrale in un determinato [a,b], che prima di calcolarlo si vada a vedere dove la funzione è continua e successivamente si restringa [a,b] coerentemente col dominio?

[ViciousGoblin]

A dire la verità a lezione abbiamo fatto come hai detto tu, ma io ora ho postato quello (che ho trovato sul libro del liceo) perchè mi sembrava più chiaro. (a dire la verità ho capito cosa vuol dire, ma non saprei come svolgere la sommatoria fino a infinito)

Non è che devi svolgere la sommatoria fina a infinito. Devi immaginare di poter fare QUALUNQUE sommmatoria finita e poter dimostrare (probabilmente lo hai fatto poi per le funzioni continue) che si possono trovare somme
superiori e somme inferiori vicine quanto ti pare. Per capire questo punto credo che l'unico modo sia di vedere una dimostrazione di integrabilità.

Io non l'ho messa come ipotesi perchè a lezione non l'abbiamo messa, solo che mi sono accorto di non aver capito il motivo per cui non l'abbiamo messa.

Non è stata messa perchè si cerca (e serve fare così) di definire l'integrale anche per funzioni che non sono continue. Il procedimento introdotto sopra ha senso per qualunque funzione limitatata,
purtroppo si vede a posteriori (come dicevo prima) che non tutte le funzioni limitate sono integrabili

[hee136]

"ViciousGoblinEnters":
La continuità non serve! Tra l'altro nemmeno tu hai preso come ipotesi che $f$ sia continua. E' invece un teorema successivo che ogni funzione continua su $[a,b]$ è integrabile, cioè che le somme superiori e le somme inferiori
si" avvicinano indefinitamente " tra loro

"hee136":
Io non l'ho messa come ipotesi perchè a lezione non l'abbiamo messa, solo che mi sono accorto di non aver capito il motivo per cui non l'abbiamo messa.

EDIT: per caso si suppone che nel momento in cui si deve calcolare un integrale in un determinato [a,b], che prima di calcolarlo si vada a vedere dove la funzione è continua e successivamente si restringa [a,b] coerentemente col dominio?

Magari sono io che faccio fatica a capire:
Per esempio, provo a calcolare l'integrale di f(x)=x esteso a [-2,2] utilizzando la definizione.
Partiziono la funzione in 4 intervalli definiti dai punti a≡x0=-2,x1=-1,x2=0,x3=1,x4=2.
Provo a calcolare m1 (cioè l'estremo inferiore di f(x) in [x0,x1]
Qui la funzione non essendo definita, cosa uso come estremo inferiore?

"Ridimensiono" l'intervallo [-2,2] , dicendo che da [-2 ,0) la funzione non è definita e calcolo l'integrale solo in [0,2] ?

[hee136]

Spero sia l'ultimo post questo (perchè se è l'ultimo vuol dire che ho finalmente capito):

Il procedimento di Riemann non richiede la continuità per far valere il tutto con il numero di funzioni più ampio possibile. Se capitasse per errore o per altro, di dover calcolare l'area in un intervallo in cui la funzione non è continua basta scartare i punti o i sottointervalli in cui non è definita.

L'integrale come metodo per calcolare l'area (inteso come sottrazione fra la primitiva calcolata in b e la stessa calcolata in a) si può usare come metodo per calcolare l'area solo nei casi in cui la funzione è continua perchè il teorema fondamentale del calcolo integrale per essere dimostrato parte dall'ipotesi di continuità.

EDIT: un grazie a chi mi ha dato e mi darà un mano a capire di più !

[ViciousGoblin]

"hee136":Spero sia l'ultimo post questo (perchè se è l'ultimo vuol dire che ho finalmente capito):

Il procedimento di Riemann non richiede la continuità per far valere il tutto con il numero di funzioni più ampio possibile. Se capitasse per errore o per altro, di dover calcolare l'area in un intervallo in cui la funzione non è continua basta scartare i punti o i sottointervalli in cui non è definita.

Qui sono io che faccio fatica a capire ESATTAMENTE ciò che intendi. Non dico che dici scemenze (anzi mi pare che quello che tenti di esprimere sia giusto), ma in queste questioni dove piccole sfumature possono portare a conclusioni diverse, è molto importante usare un linguaggio rigoroso (che viene con l'uso, peraltro).

L'integrale come metodo per calcolare l'area (inteso come sottrazione fra la primitiva calcolata in b e la stessa calcolata in a) si può usare come metodo per calcolare l'area solo nei casi in cui la funzione è continua perchè il teorema fondamentale del calcolo integrale per essere dimostrato parte dall'ipotesi di continuità.

Qui direi che hai capito. L'integrale si DEFINISCE per una certa classe di funzioni, si CALCOLA (anche qui si potrebbe discutere su cosa significhi ...) mediante la formula con le primitive, per le funzioni continue.

Voglio aggiungere un altro commento in relazione ai post precedenti, Se tu volessi far vedere che la funzione $f(x)=x$ su $[01]$ è integrabile, e volessi trovare l'integrale USANDO LA DEFINIZIONE, dovresti fare più o meno così:
(ho preso $[0,1]$ invece di $[-2,2]$ perchè così alcune notazioni si semplificano un po')

1) Fissato un intero $n$ dividiamo l'intervallo $[0,1]$ in $n$ sottointervalli di eguale ampiezza, pari a $1/n$ - individuiamo così una partizione che possiamo chiamare $P_n$ costituita da $n+1$ punti, $0=x_0 è chiaro che $x_i=\frac{i}{n}$ per $i=0,...,n$

2) Data la partizione $P_n$ calcoliamo la somma superiore $S_n$ e la somma inferiore $s_n$ relative a questa partizione. Dato che per $i=1,2,...,n$ si ha
$M_i=\max_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}f(x)=\max_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}x=x_i=\frac{i}{n}$ e $m_i=\min_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}f(x)=\in_{x_{i-1}\leq x\leq x_i}x=x_{i-1}=\frac{i-1}{n}$
otteniamo
$S_n=\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^n x_i\frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n i$ e $s_n=\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^n x_{i-1}\frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n (i-1)$

Facciamo vedere che la differenza $S_n-s_n$ tende a zero; se questo è vero la sunzione è integrabile (perchè pur di prendere $n$ grande $S_n-s_n$ diventa piccolo a piacere):
$S_n-s_n= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n [i-(i-1)}= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n 1=\frac{1}{n^2} n=\frac{1}{n}\to 0$.

3) A questo punto l'integrale è il valore comune a cui tendono $S_n$ e $s_n$. Per calcolarlo è necessatio ricordare che $\sum_{i=1}^ni=1+2+\cdots+n=\frac{1}{2}(n+1)n $, da cui
$S_n=\frac{1}{n^2}\frac{1}{2}(n+1)n\to\frac{1}{2}$.

Dunque $\int_0^1x dx =\frac{1}{2}$

Questo bisognerebbe fare se volessimo dedurre dalla definizione che l'area del triangolo è base per altezza fratto due!

Nota che nel calcolo che ti ho mostrato ho utilizzato le partizioni fatte con punti equispaziati perchè mi faceva comodo così, ma questo non è obbligatorio.

Spero che ti sia d'aiuto nella comprensione

[gugo82]

"hee136":Per esempio, provo a calcolare l'integrale di $f(x)=sqrt(x)$ esteso a [-2,2] utilizzando la definizione.

Certo che per calcolare l'integrale esteso a $[-2,2]$ di una funzione che non è definita in $[-2,2]$ serve una certa dose di fantasia.

Insomma, mi preme mettere in chiaro: 1) che la funzione integranda $f$ deve essere definita in tutto l'intervallo $[a,b]$ per poterne calcolare $\int_a^bf" d"x$ con la definizione; 2) che l'integrale $\int_a^bf" d"x$ rappresenta l'area del rettangoloide anche per funzioni discontinue (basta che non lo siano "troppo").