Dubbio Integrazione per sostituzione

[USSliberty]

Buongiorno a tutti,

Ho un dubbio atroce sulla integrazione mediante sostituzione. Per farvi comprendere meglio il mio dubbio vi posto qui un mio esercizio ( che ovviamente non mi viene giusto ).

(Integrale indefinito)

$ int(1/sqrt(x+x^2))dx $

Il prof propone una sostituzione che io poi applico:

$ x= 1/(1+y) $ ricavo la y $ y = 1/x -1 $

E qui arriva il dubbio,io tipo ho scritto così:

$ int(1/sqrt(1/(1+y)+1/(1+y)^2)*1/(1+y)^2) dy$

cioè al posto di $ dx $ ho scritto la derivata di $ 1/(1+y) $, ma è giusto?

Poi ovviamente incurante dei dubbio giungo alla conclusione:

$ int(1/(sqrt((2+y)/(1+y)^2))1/(1+y))dy = int(1/sqrt(2+y))dy = 2sqrt(2+y)+C $

Ri-sostituento y con x :

$ 2sqrt((x+1)/x) +C $

Il problema sta nel fatto che se faccio la derivata di stà cosa non torna l'integranda.


Alessio

[walter891]

al posto di $dx$ devi mettere la derivata della $y$ che hai ricavato cioè la derivata di $1/x-1$,
cambiando ovviamente la $x$ in $y$ viene $dx=-1/y^2dy$

[Feliciano1]

Procediamo piano piano
in base al teorema di derivazione delle funzioni composte, in determinate ipotesi, si dimostra:
$intf(x))dx=intf(g(y))g'(y)dt$
nel nostro caso abbiamo posto $x=1/(1+y)$
quindi possiamo USSliberty ha scelto bene la funzione da derivare.

Però innanzitutto hai dimenticato un segno - al numeratore di questa derivata e poi credo ci sia anche qualche altro errore nel prosieguo dell'esercizio.

[Feliciano1]

"USSliberty":Buongiorno a tutti,


Poi ovviamente incurante dei dubbio giungo alla conclusione:

$ int(1/(sqrt((2+y)/(1+y)^2))1/(1+y))dy = int(1/sqrt(2+y))dy = 2sqrt(2+y)+C $

Qui hai dimenticato che anche il secondo $1+y$ è elevato al quadrato quindi non puoi semplificarlo con il prima che è sotto radice

[USSliberty]

"Feliciano":[quote="USSliberty"]Buongiorno a tutti,


Poi ovviamente incurante dei dubbio giungo alla conclusione:

$ int(1/(sqrt((2+y)/(1+y)^2))1/(1+y))dy = int(1/sqrt(2+y))dy = 2sqrt(2+y)+C $

Qui hai dimenticato che anche il secondo $1+y$ è elevato al quadrato quindi non puoi semplificarlo con il prima che è sotto radice[/quote]

Ma scusa la radice di una frazione non è la frazione di 2 radici ? Perchè se è così allora $ sqrt((1+y)^2) = 1+Y $ che quindi si semplifica $1/(1+y)$.

Comunque Il segno me l'ero dimenticato vero e non riuscivo a risolvere questo integrale con la nuova sostituzione

[Feliciano1]

"USSliberty":

Ma scusa la radice di una frazione non è la frazione di 2 radici ? Perchè se è così allora $ sqrt((1+y)^2) = 1+Y $ che quindi si semplifica $1/(1+y)$.

Comunque Il segno me l'ero dimenticato vero e non riuscivo a risolvere questo integrale con la nuova sostituzione

Il problema è che non hai $1/(1+y)$ ma $-1/(1+y)^2$

[USSliberty]

Azz adesso ho capito il senso . Tra le altre cose : avevo fatto giusto la derivata sul foglio... solo che ad un certo punto è partito l'esponente per la tangente adesso rifaccio i conti..