Dubbio integrali tripli
Salve a tutti , ho un dubbio sulle simmetrie degli integrali tripli. In particolare , se ho una funzione di questo tipo
$f(x,y,z)=abs(z)$ , posso dire certamente che la funzione è pari, cioè $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$.Per quanto riguarda il dominio , esso è simmetrico rispetto al piano xy? Come faccio a verificarlo?
p.s il dominio è questo $A=(x,y,z)inR^3 : x^2+y^2<=1, abs(z)<=2+x$
$f(x,y,z)=abs(z)$ , posso dire certamente che la funzione è pari, cioè $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$.Per quanto riguarda il dominio , esso è simmetrico rispetto al piano xy? Come faccio a verificarlo?
p.s il dominio è questo $A=(x,y,z)inR^3 : x^2+y^2<=1, abs(z)<=2+x$
Risposte
Allo stesso modo, sostituendo nel dominio $-z$ a $z$ e assicurandoti che rimanga lo stesso.
"Mephlip":
Allo stesso modo, sostituendo nel dominio $-z$ a $z$ e assicurandoti che rimanga lo stesso.
Quindi in questo caso è simmetrico il dominio rispetto al piano xy. Successivamente quando risolvo l'integrale, il modulo della funzione scompare poiché moltiplico l'integrale per 2, e per quanto riguarda il dominio? Il modulo di z si separa in due per $z>=0, e z<0$?p.s mi correggo : si prende solo la parte positiva del modulo che si trova dentro al dominio e si ridefinisce un nuovo dominio senza modulo?
Sì, è simmetrico rispetto al piano $xy$.
Non proprio: il modulo non "scompare" perché moltiplichi l'integrale per $2$, ma perché per simmetria hai che calcolare l'integrale su $A$ coincide con calcolare il doppio dell'integrale su $A$ con aggiunta la condizione $z>0$.
Dunque, con tale condizione aggiunta, è $|z|=z$.
"Salvy":
il modulo della funzione scompare poiché moltiplico l'integrale per 2
Non proprio: il modulo non "scompare" perché moltiplichi l'integrale per $2$, ma perché per simmetria hai che calcolare l'integrale su $A$ coincide con calcolare il doppio dell'integrale su $A$ con aggiunta la condizione $z>0$.
Dunque, con tale condizione aggiunta, è $|z|=z$.
Mi sono espresso male ,intendevo comunque questo .Non capisco cosa succede al dominio però :
$A=|z|<=2+x$ dunque , per tutte le ipotesi di prima $A^+=0
Con la condizione $x^2+y^2<=1$ che rimane invariata ...
$A=|z|<=2+x$ dunque , per tutte le ipotesi di prima $A^+=0
Con la condizione $x^2+y^2<=1$ che rimane invariata ...
Esatto!
Perché hai messo il valore assoluto fuori da $f$? Typo?
"Salvy":
$ int_(A)|f(x,y,z)|=2int_(A^(+))f(x,y,z) $
Perché hai messo il valore assoluto fuori da $f$? Typo?
"Mephlip":
Esatto!
[quote="Salvy"]$ int_(A)|f(x,y,z)|=2int_(A^(+))f(x,y,z) $
Perché hai messo il valore assoluto fuori da $f$? Typo?[/quote]
Sisi è stato un errore la funzione è $f(x,y,z) =|z|$
Ciao Salvy,
Riassumendo, l'integrale triplo proposto è il seguente:
$ \int_A |z| \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $ A := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2+y^2 <= 1, |z| <= 2+x} $
Per quanto detto si ha:
$ \int_A |z| \text{d}x \text{d}y \text{d}z = 2 \int_{A^+} z \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $ A^+ := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2+y^2 <= 1, 0 < z <= 2+x} $
Per risolvere l'ultimo integrale scritto mi sembrano comode le coordinate cilindriche.
Riassumendo, l'integrale triplo proposto è il seguente:
$ \int_A |z| \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $ A := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2+y^2 <= 1, |z| <= 2+x} $
Per quanto detto si ha:
$ \int_A |z| \text{d}x \text{d}y \text{d}z = 2 \int_{A^+} z \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $ A^+ := {(x,y,z) \in \RR^3 : x^2+y^2 <= 1, 0 < z <= 2+x} $
Per risolvere l'ultimo integrale scritto mi sembrano comode le coordinate cilindriche.
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