Dubbio integrali tripli
Buongiorno!
Sono un nuovo utente e avrei bisogno di aiuto in quanto sto preparando l'esame di Analisi Mat 2 a Ingegneria ma ho alcuni dubbi sugli integrali tripli, in particolare sul cambio di coordinate. Riesco a svolgere senza troppi problemi i tripli su solidi di rotazione ma quando ciò non avviene sorgono i dubbi.
Vi espongo l'esercizio su cui sono bloccato.
Sia $ T=[(x,y,z)in R^3:x^2+y^2<= z<= 2-x^2-y^2, o<= x<= y] $
Calcolare: $ int int int xy dx dy dz $
Rappresentando l'insieme sul piano yz vedo che si tratta dell'intersezione di due paraboloidi ellittici di cui uno con vertice V(0,0,2).
A questo punto procedo integrando per fili verticali: taglio con corone circolari $ sqrt(x^2+z^2) $ quindi parallele al piano xz mentre la y varierà tra 0 ed 1
$ y in [0;1] $
Passo ora in coordinate cilindriche:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=y ),( z=rhosentheta ):} $
sostituendo nella relazione $ y^2<= sqrt(x^2+z^2)<= 2-y^2 $
Trovo che $ rho in [y^2;2-y^2] $
Il mio dubbio è su $ theta $ . Io ho provato a disegnare il piano di coordinate xy e imponendo le condizioni iniziali in particolare con z=0
$ [(x,y)in R^2:x^2+y^2<= 0<= 2-x^2-y^2, o<= x<= y] $
Individuo l'arco di una circonferenza di raggio $ sqrt2 $ compreso tra la bisettrice (x=y) e l'asse y, per cui avrei:
$ theta in [pi/4;pi/2] $
Calcolando infine l'integrale triplo, esso vale = 1/24.
Corretto?
Vi ringrazio per l'attenzione e i consigli che mi darete!
Sono un nuovo utente e avrei bisogno di aiuto in quanto sto preparando l'esame di Analisi Mat 2 a Ingegneria ma ho alcuni dubbi sugli integrali tripli, in particolare sul cambio di coordinate. Riesco a svolgere senza troppi problemi i tripli su solidi di rotazione ma quando ciò non avviene sorgono i dubbi.
Vi espongo l'esercizio su cui sono bloccato.
Sia $ T=[(x,y,z)in R^3:x^2+y^2<= z<= 2-x^2-y^2, o<= x<= y] $
Calcolare: $ int int int xy dx dy dz $
Rappresentando l'insieme sul piano yz vedo che si tratta dell'intersezione di due paraboloidi ellittici di cui uno con vertice V(0,0,2).
A questo punto procedo integrando per fili verticali: taglio con corone circolari $ sqrt(x^2+z^2) $ quindi parallele al piano xz mentre la y varierà tra 0 ed 1
$ y in [0;1] $
Passo ora in coordinate cilindriche:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=y ),( z=rhosentheta ):} $
sostituendo nella relazione $ y^2<= sqrt(x^2+z^2)<= 2-y^2 $
Trovo che $ rho in [y^2;2-y^2] $
Il mio dubbio è su $ theta $ . Io ho provato a disegnare il piano di coordinate xy e imponendo le condizioni iniziali in particolare con z=0
$ [(x,y)in R^2:x^2+y^2<= 0<= 2-x^2-y^2, o<= x<= y] $
Individuo l'arco di una circonferenza di raggio $ sqrt2 $ compreso tra la bisettrice (x=y) e l'asse y, per cui avrei:
$ theta in [pi/4;pi/2] $
Calcolando infine l'integrale triplo, esso vale = 1/24.
Corretto?
Vi ringrazio per l'attenzione e i consigli che mi darete!
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